3.11 Under normal operating conditions, the electric motor exerts a torque of 2.8 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} on shaft A B. Knowing that each shaft is solid, determine the maximumshearing stress in
shaft A B

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a máxima tensão de cisalhamento (shearing stress) no eixo AB.
Informações dadas (peguei estes dados da imagem):
  • Torque aplicado pelo motor no extremo A: 2{,}8\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Torques resistidos nos discos (direções mostradas na figura):
    • Em B: T_B = 1{,}4\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
    • Em C: T_C = 0{,}9\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
    • Em D: T_D = 0{,}5\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Diâmetros dos trechos sólidos do eixo (peguei estes valores da imagem):
    • Trecho AB: 56\\ \text{mm}.
    • Trecho BC: 48\\ \text{mm}.
    • Trecho CD: 48\\ \text{mm}.
    • Trecho DE: 46\\ \text{mm}.
  • Os eixos são maciços (sólidos).
Observação do enunciado: não há outras forças além dos torques listados (assegurando equilíbrio de torques ao longo do eixo).

Passo 2

Determinar o torque interno no trecho AB.
Raciocínio (equilíbrio de torques por um corte imaginário):
  • Entre A e B não há nenhum outro torque aplicado além do torque do motor em A. Portanto o torque interno no trecho AB é igual ao torque aplicado pelo motor.
    Logo:
T_{AB}=2{,}8\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
(Escrevo depois em unidades SI para calcular a tensão.)

Passo 3

Apresentar a fórmula que relaciona torque e tensão de cisalhamento em um eixo circular maciço, e explicar cada termo.
Para um eixo circular maciço submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) vale
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque interno (em \text{N}\cdot\text{m});
  • c é o raio externo do eixo (em m), isto é c=\dfrac{d}{2} com d diâmetro;
  • J é o momento polar de inércia da seção circular maciça, dado por
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo c=d/2 em \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J} e simplificando obtemos a forma prática:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Explicação curta: quanto maior o torque maior a tensão; quanto maior o diâmetro menor a tensão (terceira potência do diâmetro no denominador).

Passo 4

Converter unidades para SI e montar a expressão numérica.
Converter:
T_{AB}=2{,}8\\ \text{kN}\cdot\text{m}=2800\\ \text{N}\cdot\text{m}, \qquad d_{AB}=56\\ \text{mm}=0{,}056\\ \text{m}.
Usaremos a fórmula
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.

Passo 5

Calcular passo a passo a tensão de cisalhamento no trecho AB.
Calcular d^{3}:
d^{3}=(0{,}056)^{3}=0{,}000175616\\ \text{m}^{3}.
Calcular o denominador \pi d^{3}:
\pi d^{3}=\pi\cdot 0{,}000175616\approx 0{,}000551541\\ \text{m}^{3}.
Calcular o numerador 16T:
16T=16\cdot 2800=44800\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Agora a tensão:
\tau_{\max}=\frac{44800}{0{,}000551541}\\ \text{Pa}\approx 81\,200\,000\\ \text{Pa}.
Converter para MPa:
\tau_{\max}\approx 81{,}2\\ \text{MPa}.

Passo 6

Verificação rápida (comparar com outros trechos para assegurar que realmente este trecho tem a maior tensão).
Calcular rapidamente tensões aproximadas nos outros trechos (breve checagem):
  • Trecho BC: T_{BC}=2{,}8-1{,}4=1{,}4\\ \text{kN}\cdot\text{m}=1400\\ \text{N}\cdot\text{m}, d=0{,}048\\ \text{m}. \tau_{BC}\approx\frac{16\cdot 1400}{\pi (0{,}048)^{3}}\approx 64{,}5\\ \text{MPa}.
  • Trecho CD: T_{CD}=1{,}4-0{,}9=0{,}5\\ \text{kN}\cdot\text{m}=500\\ \text{N}\cdot\text{m}, d=0{,}048\\ \text{m}. \tau_{CD}\approx\frac{16\cdot 500}{\pi (0{,}048)^{3}}\approx 23{,}0\\ \text{MPa}.
Conclusão desta checagem: o trecho AB realmente apresenta a maior tensão de cisalhamento dentre os trechos (aprox. 81{,}2\\ \text{MPa}).

Passo 7

Resumo final e interpretação didática rápida:
  • A máxima tensão de cisalhamento para um eixo circular maciço ocorre na superfície (raio c).
  • A fórmula prática \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}} é muito útil em provas pois evita calcular J e c separadamente.
  • Sempre converta unidades para SI antes de entrar na fórmula.
  • No problema, apesar de o diâmetro de AB ser maior, o torque aplicado em AB é também significativamente maior, resultando na maior tensão.

Resposta

81{,}2\\ \text{MPa}

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