3.11 Under normal operating conditions, the electric motor exerts a torque of 2.8
on shaft
. Knowing that each shaft is solid, determine the maximumshearing stress in
shaft
shaft
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a máxima tensão de cisalhamento (shearing stress) no eixo
.
Informações dadas (peguei estes dados da imagem):
- Torque aplicado pelo motor no extremo
: . - Torques resistidos nos discos (direções mostradas na figura):
- Em
: . - Em
: . - Em
: .
- Em
- Diâmetros dos trechos sólidos do eixo (peguei estes valores da imagem):
- Trecho
: . - Trecho
: . - Trecho
: . - Trecho
: .
- Trecho
- Os eixos são maciços (sólidos).
Observação do enunciado: não há outras forças além dos torques listados (assegurando equilíbrio de torques ao longo do eixo).
Passo 2
Determinar o torque interno no trecho
.
Raciocínio (equilíbrio de torques por um corte imaginário):
- Entre
e não há nenhum outro torque aplicado além do torque do motor em . Portanto o torque interno no trecho é igual ao torque aplicado pelo motor.
Logo:
(Escrevo depois em unidades SI para calcular a tensão.)
Passo 3
Apresentar a fórmula que relaciona torque e tensão de cisalhamento em um eixo circular maciço, e explicar cada termo.
Para um eixo circular maciço submetido a torque
, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície) vale
onde:
-
é o torque interno (em ); -
é o raio externo do eixo (em m), isto é com diâmetro; -
é o momento polar de inércia da seção circular maciça, dado por
Substituindo
em
e simplificando obtemos a forma prática:
Explicação curta: quanto maior o torque maior a tensão; quanto maior o diâmetro menor a tensão (terceira potência do diâmetro no denominador).
Passo 4
Converter unidades para SI e montar a expressão numérica.
Converter:
Usaremos a fórmula
Passo 5
Calcular passo a passo a tensão de cisalhamento no trecho
.
Calcular
:
Calcular o denominador
:
Calcular o numerador
:
Agora a tensão:
Converter para MPa:
Passo 6
Verificação rápida (comparar com outros trechos para assegurar que realmente este trecho tem a maior tensão).
Calcular rapidamente tensões aproximadas nos outros trechos (breve checagem):
- Trecho
: , . - Trecho
: , .
Conclusão desta checagem: o trecho
realmente apresenta a maior tensão de cisalhamento dentre os trechos (aprox.
).
Passo 7
Resumo final e interpretação didática rápida:
- A máxima tensão de cisalhamento para um eixo circular maciço ocorre na superfície (raio
). - A fórmula prática
é muito útil em provas pois evita calcular e separadamente. - Sempre converta unidades para SI antes de entrar na fórmula.
- No problema, apesar de o diâmetro de
ser maior, o torque aplicado em é também significativamente maior, resultando na maior tensão.