3.11 Under normal operating conditions, the electric motor exerts a torque of 2.8 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m} on shaft A B. Knowing that each shaft is solid, determine the maximumshearing stress in
shaft B C

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado (valores extraídos da figura):
  • Pedido: determinar a máxima tensão de cisalhamento (shearing stress máxima) no trecho do eixo entre os pontos B e C.
  • Dados (peguei estes números da imagem):
    • Torque aplicado pelo motor no eixo A\!B: 2,8\\ \mathrm{kN\cdot m}.
    • Torques resistidos nas rodas/discos (na direção indicada pela figura): T_B=1,4\\ \mathrm{kN\cdot m}, T_C=0,9\\ \mathrm{kN\cdot m}, T_D=0,5\\ \mathrm{kN\cdot m}.
    • Diâmetros dos trechos do eixo (peguei da imagem): diâmetro do trecho B\!-\!C é 48\\ \mathrm{mm}. (Outros diâmetros aparecem na figura, mas para este trecho precisamos apenas do 48\\ \mathrm{mm}.)
  • Observação importante: cada eixo é maciço (sólido), como diz o enunciado.

Passo 2

Estratégia de resolução (escolha do método):
  • Primeiro usar equilíbrio de torques (equilíbrio estático sobre o eixo) para encontrar o torque interno que o trecho B\!-\!C transmite.
  • Depois usar a fórmula da torção para um eixo circular maciço para relacionar esse torque com a tensão de cisalhamento máxima.
  • Vou explicar passo a passo as fórmulas necessárias e o significado de cada variável para você entender bem.

Passo 3

Determinar o torque interno no trecho B\!-\!C por equilíbrio:
  • Convenção: ao somar torques ao longo do eixo, subtrai-se os torques retirados pelos discos à medida que se vai para a direita.
  • O motor fornece 2,8\\ \mathrm{kN\cdot m} para a esquerda da seção em B. No disco em B há uma resistência T_B=1,4\\ \mathrm{kN\cdot m}. Assim, o torque transmitido para a direita, na região entre B e C, vale T_{BC}=2,8\\ \mathrm{kN\cdot m}-1,4\\ \mathrm{kN\cdot m}=1,4\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • Convertemos para unidades do SI compatíveis para cálculo numérico posterior: 1,4\\ \mathrm{kN\cdot m}=1400\\ \mathrm{N\cdot m}. (Se preferir trabalhar em \mathrm{N\cdot mm}: 1400\\ \mathrm{N\cdot m}=1{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.)

Passo 4

Fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular maciço:
  • Para um eixo circular maciço submetido a um torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por \tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},onde:
    • T é o torque interno (em \mathrm{N\cdot m} ou \mathrm{N\cdot mm});
    • c é o raio externo do eixo (metade do diâmetro), em metros ou mm conforme a unidade escolhida;
    • J é o momento polar de inércia da seção circular sólida, que vale J=\frac{\pi d^{4}}{32},com d o diâmetro.
  • Substituindo c=d/2 em \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J} obtemos a fórmula prática (muito usada) \tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.Nessa expressão:
    • se T estiver em \mathrm{N\cdot mm} e d em \mathrm{mm}, o resultado vem em \mathrm{N/mm^{2}} (que é igual a \mathrm{MPa});
    • se T estiver em \mathrm{N\cdot m} e d em \mathrm{m}, o resultado vem em \mathrm{N/m^{2}} (Pa).

Passo 5

Aplicar a fórmula com os valores do trecho B\!-\!C:
  • Valores usados (peguei o torque do passo 3 e o diâmetro da figura):
    • T_{BC}=1{,}4\\ \mathrm{kN\cdot m}=1{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
    • d=48\\ \mathrm{mm}.
  • Usando a forma conveniente com unidades \mathrm{N\cdot mm} e \mathrm{mm}, \tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.Substituindo: \tau_{\max}=\frac{16\cdot\left(1{,}4\times10^{6}\right)}{\pi\cdot 48^{3}}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
  • Calculemos passo a passo:
    • 16\cdot 1{,}4\times10^{6}=22{,}4\times10^{6}.
    • 48^{3}=110592.
    • \pi\cdot 48^{3}=\pi\cdot 110592\approx 347454.
    • Dividindo: \tau_{\max}\approx\frac{22{,}4\times10^{6}}{347454}\\ \mathrm{N/mm^{2}}\approx 64{,}47\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
  • Interpretando unidades: 1\\ \mathrm{N/mm^{2}}=1\\ \mathrm{MPa}, logo \tau_{\max}\approx 64{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Comentário final e incentivo:
  • A tensão máxima de cisalhamento no trecho B\!-\!C é cerca de 64{,}5\\ \mathrm{MPa}.
  • Bom trabalho ao seguir passo a passo — essa é uma receita que vale para qualquer problema de eixo em torção: primeiro equilíbrio para achar T em cada segmento, depois \tau_{\max}=16T/(\pi d^{3}) para eixo maciço circular. Vai dar certo na prova — respira fundo e repete os passos com calma.

Resposta

64{,}5\\ \mathrm{MPa}

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