O projeto preliminar de um grande eixo conectando um motor a um gerador determinou que o eixo escolhido fosse vazado e com diâmetros interno e externo de 100 mm e 150 mm , respectivamente. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 82 MPa , determine o valor do torque máximo que pode ser transmitido
pelo eixo conforme o projeto preliminar

Passo 1

O enunciado pede para determinar o torque máximo que o eixo vazado pode transmitir antes de atingir a tensão de cisalhamento admissível. Dados fornecidos:
  • diâmetro externo d_o = 150\\ \text{mm} (peguei do enunciado);
  • diâmetro interno d_i = 100\\ \text{mm} (peguei do enunciado);
  • tensão de cisalhamento admissível \tau_{\text{adm}} = 82\\ \text{MPa} (peguei do enunciado).
O que se quer: calcular T_{\max}, o torque máximo admissível pelo eixo segundo o projeto preliminar.

Passo 2

Vamos à teoria essencial (aquelas fórmulas que caem na prova): para um eixo circular (sólido ou vazado) submetido à torção, a máxima tensão de cisalhamento na superfície externa é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (Pa);
  • T é o torque aplicado (N·m);
  • c é o raio externo do eixo (m);
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (m^4).
Aqui queremos o torque máximo que produz \tau_{\max}=\tau_{\text{adm}}. Reorganizando a fórmula para T,
T_{\max}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.
Vou explicar cada termo e como calcular.

Passo 3

Para um eixo circular vazado o momento polar de inércia J é a diferença entre o J do círculo externo e do círculo interno:
J=\frac{\pi}{32}\bigl(d_o^4-d_i^4\bigr),
onde d_o e d_i são os diâmetros externo e interno (m). É importante usar unidades compatíveis (SI: metros e pascal).

Passo 4

Converto os dados para unidades SI:
d_o=150\\ \text{mm}=0{,}150\\ \text{m},\qquad d_i=100\\ \text{mm}=0{,}100\\ \text{m},
c=\frac{d_o}{2}=\frac{0{,}150}{2}=0{,}075\\ \text{m},
\tau_{\text{adm}}=82\\ \text{MPa}=82\times10^{6}\\ \text{Pa}.

Passo 5

Calculo d_o^4 e d_i^4 e depois J.
Primeiro os quartas potências:
d_o^4=(0{,}150)^4=0{,}150^2\cdot0{,}150^2=0{,}0225\cdot0{,}0225=0{,}00050625\\ \text{m}^4,
d_i^4=(0{,}100)^4=0{,}0001\\ \text{m}^4.
Diferença:
d_o^4-d_i^4=0{,}00050625-0{,}0001=0{,}00040625\\ \text{m}^4.
Agora J:
J=\frac{\pi}{32}\bigl(0{,}00040625\bigr).
Calculo numérico:
\frac{\pi}{32}\approx0{,}0981747704,
J\approx0{,}0981747704\times0{,}00040625\approx3{,}9884\times10^{-5}\\ \text{m}^4.

Passo 6

Agora uso a fórmula do torque máximo:
T_{\max}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.
Substituindo os valores:
T_{\max}=\frac{82\times10^{6}\times 3{,}9884\times10^{-5}}{0{,}075}.
Faço em duas etapas: numerador
82\times10^{6}\times 3{,}9884\times10^{-5}=3270{,}488\\ \text{N}\cdot\text{m},
e dividindo por 0{,}075:
T_{\max}\approx\frac{3270{,}488}{0{,}075}\approx43606{,}5\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Arredondando de forma prática para a engenharia (duas ou três cifras significativas) podemos escrever T_{\max}\approx4{,}36\times10^{4}\\ \text{N}\cdot\text{m} ou T_{\max}\approx43{,}6\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Dica rápida para a prova: calcule J com atenção às unidades e faça a conta do numerador primeiro (tensão vezes J) para evitar erros de escala.

Resposta

T_{\max}\approx4{,}36\times10^{4}\\ \text{N}\cdot\text{m}

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