11 O volume de um tronco reto de cilindro circular é 81 pi dm^3 e as geratrizes maior e menor medem 10 dm e 8 dm . Calcule a medida do raio da base circular desse tronco.

Passo 1

O enunciado fala de um tronco reto de cone circular (frustro de cone) cuja geratriz do cone maior é g1=10rm,dm e a do cone menor retirado é g2=8rm,dm. O volume desse tronco é \r
V=81pirm,dm^3 \r
Queremos o raio da base maior desse tronco, que chamaremos de R. Para resolver, vamos usar semelhança de cones e a fórmula do volume de frustro de cone.

Passo 2

Em um cone de geratriz g1 e raio da base R, a altura é \r
H1=raizg1^2 - R^2=raiz100 - R^2 \r
No cone menor (o que se retira), a semelhança dá \r
rR=g2g1=810=0,8, \r
logo \r
r=0,8,R \r
Também a altura do cone menor é \r
H2 = raizg2^2 - r^2 =raiz64 - (0,8R)^2 =raiz64 - 0,64,R^2 =g2g1H1 =0,8,H1

Passo 3

O volume do frustro (tronco) é a diferença dos volumes dos dois cones:\r
V =pi3R^2H1 ;-;pi3r^2H2 =pi3R^2H1l(1-l(tfracg2g1r)^3r) \r
Como l(tfrac810r)^3=0,512, tem-se \r
V=pi3R^2H1,(1-0,512) =pi3R^2raiz100-R^2times0,488 \r
Impondo V=81pi, cancelando pi e reorganizando:\r
R^2raiz100-R^2 =81cdot30,488 approx499,18

Passo 4

Considere a função
f(R)=R^2raiz100-R^2, 0<= R<=10 \r
O valor máximo de f(R) ocorre em R^2=tfrac2003approx66,67, dando
fmaxapprox66,67cdotraiz33,33approx384,9 \r
Como precisamos de f(R)approx499,18>384,9, não existe R real que satisfaça a equação.

Resposta

Não existe valor real de R que torne o volume do tronco igual a 81pirm,dm^3 com as geratrizes dadas.

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