9-110C For each part, write the official name for the differential equation, discuss its restrictions, and describe what the equation represents physically.
\frac{\partial}{\partial t}(\rho \vec{V})+\vec{\nabla} \cdot(\rho \vec{V} \vec{V})=\rho \vec{g}+\vec{\nabla} \cdot \sigma_{i j}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a equação diferencial fornecida: (1) escrever o nome oficial da equação; (2) discutir as restrições (hipóteses e limites de validade) sob as quais essa equação é válida; (3) descrever o que a equação representa fisicamente. A equação dada é
\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\rho \vec{V}\bigr)+\vec{\nabla}\cdot\bigl(\rho \vec{V}\,\vec{V}\bigr)=\rho \vec{g}+\vec{\nabla}\cdot\sigma_{ij}.
Informações explícitas que o enunciado fornece (símbolos e objetos que aparecem):
  • \rho=\rho(\vec{x},t) é a densidade de massa (escalar).
  • \vec{V}=\vec{V}(\vec{x},t) é o vetor velocidade.
  • \vec{g} é a aceleração de corpo por unidade de massa (por exemplo gravidade).
  • \sigma_{ij} é o tensor de tensões (Cauchy stress tensor); o índice indicativo ij mostra componentes em coordenadas.
  • O operador \vec{\nabla}\cdot aplicado a um tensor gera um vetor com componentes \partial_j \sigma_{ij}.
    O enunciado não pede resolver numericamente nada: quer nome, hipóteses e interpretação física.

Passo 2

Vamos entender rigorosamente cada termo da equação — isso ajuda a depois nomeá-la e explicar o que significa term-a-term. Vou explicar em linguagem simples e com índices quando for mais claro.
Termos escritos:
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\rho \vec{V}\bigr) é a derivada parcial temporal do campo densidade-velocidade; componente i é \partial_t(\rho V_i).
  • \displaystyle \vec{\nabla}\cdot\bigl(\rho \vec{V}\,\vec{V}\bigr) é a divergência do tensor de fluxo de momento. Em componentes isto é \partial_j(\rho V_i V_j). Intuição: representa o transporte convectivo (fluxo) do momento pelas velocidades.
  • \rho \vec{g} é a força volumétrica por unidade de volume (força por unidade de massa vezes massa por volume → força por volume); em muitas aplicações \vec{g} é a gravidade.
  • \vec{\nabla}\cdot\sigma_{ij} é a força de superfície por unidade de volume advinda das tensões internas (pressão e esforços viscosos). Em componentes é \partial_j \sigma_{ij}.
Observação sobre notação: \rho\vec{V}\,\vec{V} é um produto tensorial (um tensor de segunda ordem com componentes \rho V_i V_j), não é produto escalar. O resultado da divergência desse tensor é um vetor.

Passo 3

Mostro como essa forma diferencial aparece a partir da conservação do momento linear num volume fixo (forma Euleriana). Use a ideia do balanço integral: taxa de variação do momento dentro de um volume fixo + fluxo de momento através da superfície = somatório de forças (forças de volume + forças de superfície). Aplicando o teorema da divergência e passando para forma local obtém-se exatamente
\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\rho \vec{V}\bigr)+\vec{\nabla}\cdot\bigl(\rho \vec{V}\,\vec{V}\bigr)=\rho \vec{g}+\vec{\nabla}\cdot\sigma.
Se quisermos escrever numa forma muito usada nos livros (forma com derivada material), usamos a equação da continuidade \partial_t \rho + \vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{V})=0 e a regra do produto para obter
\rho\bigl(\partial_t\vec{V}+(\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V}\bigr)=\rho\vec{g}+\vec{\nabla}\cdot\sigma,
onde \partial_t\vec{V}+(\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\vec{V} é a aceleração material (a derivada convectiva da velocidade). Esta forma é muito útil para interpretação física — mostra massa vezes aceleração = forças.

Passo 4

Nome oficial da equação. A forma dada é conhecida oficialmente como a equação do balanço (conservação) do momento linear no formulário de Cauchy. Nomes equivalentes ou relacionados que aparecem frequentemente:
  • “Equação de Cauchy do momento” ou apenas “Equação do momento (forma diferencial)”.
  • Se se especificar uma lei constitutiva para \sigma (por exemplo, \sigma=-p\mathbf{I}+ tensões viscosas lineares de um fluido newtoniano), a equação resulta nas equações de Navier–Stokes (no caso de fluido newtoniano) ou nas equações de Euler (no caso invíscido, \sigma=-p\mathbf{I}).
    Em uma resposta de prova escreva: “Equação de Cauchy (equação de conservação do momento); com hipótese constitutiva adequada torna-se Navier–Stokes ou Euler”.

Passo 5

Restrições e hipóteses (o que é necessário para que a equação seja válida):
  • Hipótese de meio contínuo (continuum hypothesis): as grandezas \rho, \vec{V}, \sigma_{ij} são campos bem-definidos e suaves (média sobre volumes elementares que contenham muitas moléculas). Não vale à escala molecular.
  • Regularidade: funções suficientemente diferenciáveis para que \partial_t e \vec{\nabla} façam sentido.
  • Balanço de massa válido localmente: usa-se a equação da continuidade \partial_t\rho+\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{V})=0; se ela não vale, a forma com \rho(\partial_t\vec{V}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}) não é equivalente.
  • Tipo de meio: a equação escrita assume um continuum sem micro-rotação ou tensores de terceira ordem — isto é, assume-se um meio do tipo “Cauchy simples” (sem efeitos de porosidade, micro-rotacional, ou tensões de superfície adicionais). Em meios com microestrutura (por ex. meios micropolares) a forma deve ser alterada.
  • Fechamento/constitutivo: é uma equação de conservação, mas não determina \vec{V}, \rho e temperatura por si só porque \sigma_{ij} é desconhecido; é preciso uma relação constitutiva (por exemplo modelo newtoniano: \sigma=-p\mathbf{I}+\mu(\nabla\vec{V}+(\nabla\vec{V})^T)+\lambda(\nabla\cdot\vec{V})\mathbf{I}) para “fechar” o sistema.
  • Forças externas: \vec{g} é assumida conhecida; se existirem forças de corpo dependentes de campos adicionais (por ex. forças eletromagnéticas) elas devem ser incluídas adequadamente.
  • Regimes limites: a equação é clássica (não relativística); para velocidades próximas a c precisa de formulação relativística. Também não inclui efeitos quânticos.

Passo 6

Condições de contorno e iniciais necessárias (restrições práticas): para uso em problemas reais é preciso fornecer:
  • Condições iniciais \vec{V}(\vec{x},0) e \rho(\vec{x},0) (e possivelmente temperatura) no domínio.
  • Condições de contorno para a velocidade (por ex. velocidade imposta ou condição de não deslizamento na parede) e para as tensões na fronteira externa (se forem especificadas forças superficiais).
    Sem essas informações o problema não é bem-posicionado.

Passo 7

Fechamento físico: tipos comuns de \sigma_{ij} e consequências — isso é importante em prova porque muitas vezes pedem “qual equação resulta se \sigma_{ij}=-p\delta_{ij}?”:
  • Meio invíscido (ideal): \sigma_{ij}=-p\delta_{ij}. Substituindo-se a equação de continuidade e essa forma obtém-se as equações de Euler:
\rho(\partial_t\vec{V}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V})=-\nabla p+\rho\vec{g}.
  • Fluido newtoniano (viscoso): \sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+\tau_{ij} com \tau_{ij}=\mu(\partial_i V_j+\partial_j V_i)+\lambda(\nabla\cdot\vec{V})\delta_{ij}. Substituindo dá as equações de Navier–Stokes (se \mu constante e incompressível com \nabla\cdot\vec{V}=0 aparece o termo viscoso \mu\nabla^2\vec{V}).
    Portanto, a equação dada é um quadro geral; as equações concretas (Euler, Navier–Stokes) aparecem quando se escolhe uma lei constitutiva para \sigma.

Passo 8

Interpretação física termo a termo (como explicar na prova para ganhar pontos):
  • Lado esquerdo: \partial_t(\rho\vec{V}) é a taxa local de variação do momento por unidade de volume; \nabla\cdot(\rho\vec{V}\vec{V}) é o termo de transporte convectivo do momento (fluxo de momento por convecção). Juntos representam a variação total (no ponto fixo do espaço) do momento.
  • Lado direito: \rho\vec{g} são forças de volume (por exemplo gravidade) atuando sobre a massa; \nabla\cdot\sigma representa forças de superfície internas transformadas em densidade de força (gradientes de pressão e esforços viscosos). Assim, a equação diz: taxa de variação do momento = soma das forças por unidade de volume.
  • Forma com derivada material (mais física): \rho\mathrm{D}\vec{V}/\mathrm{D}t=\rho\vec{g}+\nabla\cdot\sigma. Ler na prova como “massa por unidade de volume vezes aceleração material = soma das forças por unidade de volume”.

Passo 9

Exemplos concretos rápidos para fixar (como explicar na prova com jeito de “isso vira isto”):
  • Se \sigma=-p\mathbf{I} (só pressão), a equação vira Euler: aceleração governada por gradiente de pressão e peso.
  • Se \sigma=-p\mathbf{I}+\mu(\nabla\vec{V}+(\nabla\vec{V})^T) e \nabla\cdot\vec{V}=0 (incompressível, viscosidade constante), obtém-se Navier–Stokes incompressível:
\rho\bigl(\partial_t\vec{V}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\bigr)=-\nabla p+\mu\nabla^2\vec{V}+\rho\vec{g}.
  • Para um sólido linear elástico, \sigma é relacionado aos gradientes de deslocamento por leis constitutivas de elasticidade; a mesma equação de balanço do momento vale, mas com \vec{V} relacionado ao deslocamento por derivadas temporais.

Passo 10

O que escrever na prova para impressionar (resumo prático):
  • Diga o nome: “Equação de Cauchy (conservação do momento) — forma diferencial”.
  • Liste hipóteses: hipótese de continuum, regularidade, necessidade de relação constitutiva para \sigma, não-relativística, etc.
  • Dê a interpretação física curta: “massa·aceleração = forças de volume + forças de superfície (gradiente de tensões)”.
  • Cite os casos especiais importantes: com \sigma=-p\mathbf{I} → Euler; com lei newtoniana → Navier–Stokes.

Resposta

Equação de Cauchy (equação de conservação do momento linear) — forma diferencial.
Válida sob as hipóteses de hipótese de meio contínuo e de campos suficientemente diferenciáveis; requer a equação da continuidade local; assume um continuum do tipo Cauchy (sem micro‑rotação nem efeitos de microestrutura) e precisa de uma lei constitutiva para \sigma_{ij} (ex.: fluido newtoniano) para fechar o sistema; não é relativística e não vale em escalas moleculares.
Representa o balanço local do momento: taxa de variação do momento por unidade de volume mais o fluxo convectivo de momento é igual à soma das forças de corpo ( \rho\vec{g}) e das forças de superfície internas ( \nabla\cdot\sigma); em forma alternativa \rho(\partial_t\vec{V}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V})=\rho\vec{g}+\nabla\cdot\sigma, ou seja, “massa por unidade de volume vezes aceleração material = forças por unidade de volume”.

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