9-110C For each part, write the official name for the differential equation, discuss its restrictions, and describe what the equation represents physically.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a equação diferencial fornecida: (1) escrever o nome oficial da equação; (2) discutir as restrições (hipóteses e limites de validade) sob as quais essa equação é válida; (3) descrever o que a equação representa fisicamente. A equação dada é
Informações explícitas que o enunciado fornece (símbolos e objetos que aparecem):
-
é a densidade de massa (escalar). -
é o vetor velocidade. -
é a aceleração de corpo por unidade de massa (por exemplo gravidade). -
é o tensor de tensões (Cauchy stress tensor); o índice indicativo mostra componentes em coordenadas. - O operador
aplicado a um tensor gera um vetor com componentes .
O enunciado não pede resolver numericamente nada: quer nome, hipóteses e interpretação física.
Passo 2
Vamos entender rigorosamente cada termo da equação — isso ajuda a depois nomeá-la e explicar o que significa term-a-term. Vou explicar em linguagem simples e com índices quando for mais claro.
Termos escritos:
-
é a derivada parcial temporal do campo densidade-velocidade; componente é . -
é a divergência do tensor de fluxo de momento. Em componentes isto é . Intuição: representa o transporte convectivo (fluxo) do momento pelas velocidades. -
é a força volumétrica por unidade de volume (força por unidade de massa vezes massa por volume → força por volume); em muitas aplicações é a gravidade. -
é a força de superfície por unidade de volume advinda das tensões internas (pressão e esforços viscosos). Em componentes é .
Observação sobre notação:
é um produto tensorial (um tensor de segunda ordem com componentes
), não é produto escalar. O resultado da divergência desse tensor é um vetor.
Passo 3
Mostro como essa forma diferencial aparece a partir da conservação do momento linear num volume fixo (forma Euleriana). Use a ideia do balanço integral: taxa de variação do momento dentro de um volume fixo + fluxo de momento através da superfície = somatório de forças (forças de volume + forças de superfície). Aplicando o teorema da divergência e passando para forma local obtém-se exatamente
Se quisermos escrever numa forma muito usada nos livros (forma com derivada material), usamos a equação da continuidade
e a regra do produto para obter
onde
é a aceleração material (a derivada convectiva da velocidade). Esta forma é muito útil para interpretação física — mostra massa vezes aceleração = forças.
Passo 4
Nome oficial da equação. A forma dada é conhecida oficialmente como a equação do balanço (conservação) do momento linear no formulário de Cauchy. Nomes equivalentes ou relacionados que aparecem frequentemente:
- “Equação de Cauchy do momento” ou apenas “Equação do momento (forma diferencial)”.
- Se se especificar uma lei constitutiva para
(por exemplo, tensões viscosas lineares de um fluido newtoniano), a equação resulta nas equações de Navier–Stokes (no caso de fluido newtoniano) ou nas equações de Euler (no caso invíscido, ).
Em uma resposta de prova escreva: “Equação de Cauchy (equação de conservação do momento); com hipótese constitutiva adequada torna-se Navier–Stokes ou Euler”.
Passo 5
Restrições e hipóteses (o que é necessário para que a equação seja válida):
- Hipótese de meio contínuo (continuum hypothesis): as grandezas
, , são campos bem-definidos e suaves (média sobre volumes elementares que contenham muitas moléculas). Não vale à escala molecular. - Regularidade: funções suficientemente diferenciáveis para que
e façam sentido. - Balanço de massa válido localmente: usa-se a equação da continuidade
; se ela não vale, a forma com não é equivalente. - Tipo de meio: a equação escrita assume um continuum sem micro-rotação ou tensores de terceira ordem — isto é, assume-se um meio do tipo “Cauchy simples” (sem efeitos de porosidade, micro-rotacional, ou tensões de superfície adicionais). Em meios com microestrutura (por ex. meios micropolares) a forma deve ser alterada.
- Fechamento/constitutivo: é uma equação de conservação, mas não determina
, e temperatura por si só porque é desconhecido; é preciso uma relação constitutiva (por exemplo modelo newtoniano: ) para “fechar” o sistema. - Forças externas:
é assumida conhecida; se existirem forças de corpo dependentes de campos adicionais (por ex. forças eletromagnéticas) elas devem ser incluídas adequadamente. - Regimes limites: a equação é clássica (não relativística); para velocidades próximas a
precisa de formulação relativística. Também não inclui efeitos quânticos.
Passo 6
Condições de contorno e iniciais necessárias (restrições práticas): para uso em problemas reais é preciso fornecer:
- Condições iniciais
e (e possivelmente temperatura) no domínio. - Condições de contorno para a velocidade (por ex. velocidade imposta ou condição de não deslizamento na parede) e para as tensões na fronteira externa (se forem especificadas forças superficiais).
Sem essas informações o problema não é bem-posicionado.
Passo 7
Fechamento físico: tipos comuns de
e consequências — isso é importante em prova porque muitas vezes pedem “qual equação resulta se
?”:
- Meio invíscido (ideal):
. Substituindo-se a equação de continuidade e essa forma obtém-se as equações de Euler:
- Fluido newtoniano (viscoso):
com . Substituindo dá as equações de Navier–Stokes (se constante e incompressível com aparece o termo viscoso ).
Portanto, a equação dada é um quadro geral; as equações concretas (Euler, Navier–Stokes) aparecem quando se escolhe uma lei constitutiva para.
Passo 8
Interpretação física termo a termo (como explicar na prova para ganhar pontos):
- Lado esquerdo:
é a taxa local de variação do momento por unidade de volume; é o termo de transporte convectivo do momento (fluxo de momento por convecção). Juntos representam a variação total (no ponto fixo do espaço) do momento. - Lado direito:
são forças de volume (por exemplo gravidade) atuando sobre a massa; representa forças de superfície internas transformadas em densidade de força (gradientes de pressão e esforços viscosos). Assim, a equação diz: taxa de variação do momento = soma das forças por unidade de volume. - Forma com derivada material (mais física):
. Ler na prova como “massa por unidade de volume vezes aceleração material = soma das forças por unidade de volume”.
Passo 9
Exemplos concretos rápidos para fixar (como explicar na prova com jeito de “isso vira isto”):
- Se
(só pressão), a equação vira Euler: aceleração governada por gradiente de pressão e peso. - Se
e (incompressível, viscosidade constante), obtém-se Navier–Stokes incompressível:
- Para um sólido linear elástico,
é relacionado aos gradientes de deslocamento por leis constitutivas de elasticidade; a mesma equação de balanço do momento vale, mas com relacionado ao deslocamento por derivadas temporais.
Passo 10
O que escrever na prova para impressionar (resumo prático):
- Diga o nome: “Equação de Cauchy (conservação do momento) — forma diferencial”.
- Liste hipóteses: hipótese de continuum, regularidade, necessidade de relação constitutiva para
, não-relativística, etc. - Dê a interpretação física curta: “massa·aceleração = forças de volume + forças de superfície (gradiente de tensões)”.
- Cite os casos especiais importantes: com
→ Euler; com lei newtoniana → Navier–Stokes.
Resposta
Equação de Cauchy (equação de conservação do momento linear) — forma diferencial.
Válida sob as hipóteses de hipótese de meio contínuo e de campos suficientemente diferenciáveis; requer a equação da continuidade local; assume um continuum do tipo Cauchy (sem micro‑rotação nem efeitos de microestrutura) e precisa de uma lei constitutiva para
(ex.: fluido newtoniano) para fechar o sistema; não é relativística e não vale em escalas moleculares.
Representa o balanço local do momento: taxa de variação do momento por unidade de volume mais o fluxo convectivo de momento é igual à soma das forças de corpo (
) e das forças de superfície internas (
); em forma alternativa
, ou seja, “massa por unidade de volume vezes aceleração material = forças por unidade de volume”.