9-111C For each statement, choose whether the statement is true or false and discuss your answer briefly. For each statement it is assumed that the proper boundary conditions and fluid properties are known.
(a) A general incompressible flow problem with constant fluid properties has four unknowns.
(b) A general compressible flow problem has five unknowns.
(c) For an incompressible fluid mechanics problem, the continuity equation and Cauchy’s equation provide enough equations to match the number of unknowns.
(a) A general incompressible flow problem with constant fluid properties has four unknowns.
(b) A general compressible flow problem has five unknowns.
(c) For an incompressible fluid mechanics problem, the continuity equation and Cauchy’s equation provide enough equations to match the number of unknowns.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que está assumido. O enunciado traz três afirmações e pede para escolher se cada uma é verdadeira ou falsa, com uma breve discussão. As afirmações são:
(a) “Uma formulação geral de escoamento incompressível com propriedades do fluido constantes tem quatro incógnitas.”
(b) “Uma formulação geral de escoamento compressível tem cinco incógnitas.”
(c) “Para um problema de mecânica dos fluidos incompressível, a equação de continuidade e a equação de Cauchy fornecem equações suficientes para igualar o número de incógnitas.”
Além disso, o enunciado diz que as condições de contorno e as propriedades do fluido apropriadas são conhecidas. Não tento resolver nada ainda; só enumerei o pedido e as hipóteses.
Passo 2
Definir quais são as incógnitas num problema de escoamento incompressível com propriedades constantes.
- Em um escoamento geral tridimensional as incógnitas de campo que normalmente se resolvem são:
- a velocidade
, que tem três componentes (cada componente é uma incógnita de campo), - a pressão
, que é um escalar e também uma incógnita de campo.
- a velocidade
- A densidade
é constante quando o escoamento é incompressível com propriedades constantes, portanto não é uma incógnita de campo (é um parâmetro conhecido). A viscosidade dinâmica também é conhecida (propriedade constante). - Logo, o número de incógnitas de campo é
(componentes de ) + (pressão) = .
Explicação didática rápida: “incompressível” significa matematicamente
, que impõe um vínculo entre as componentes de
; contudo, a pressão aparece nas equações de movimento como um desconhecido que ajusta o campo de velocidade para satisfazer essa restrição.
Passo 3
Quais equações estão disponíveis no caso incompressível e por que elas são suficientes (ou não).
-
Equação de continuidade (incompressibilidade):que é uma equação escalar (1 equação).
-
Equação de Cauchy (equilíbrio de momento), que em forma de Navier–Stokes para um fluido newtoniano e propriedades constantes pode ser escrita comoonde
é o tensor tensional. Para fluido newtoniano o tensor tensional tem a forma com. A equação de momento fornece três equações escalares (uma para cada componente de ). -
Total de equações escalares:
(continuidade) + (momentum) = .
Observação didática: a constituição (a relação
) é necessária para escrever
em termos de
e
. O enunciado já assume que as propriedades do fluido são conhecidas, então essa relação está disponível.
Passo 4
Conclusão e resposta para (a) com justificativa.
- Já contei as incógnitas:
(3) e (1) → total . - Já contei as equações disponíveis quando propriedades e constituição são conhecidas: continuidade (1) + momento (3) →
equações. - Portanto a afirmação (a) “tem quatro incógnitas” é verdadeira.
Resumo simples: para escoamento incompressível (propriedades constantes) os campos desconhecidos usuais são
e
, totalizando 4 incógnitas.
Passo 5
Analisar a afirmação (b): quantas incógnitas num escoamento compressível?
- Em um problema compressível geral (tridimensional, sem suposições adicionais) as incógnitas de campo típicas são:
- a densidade
(ou massa específica), - a velocidade
(3 componentes), - a energia interna por unidade de massa
ou, alternativamente, a temperatura (ou a energia total ).
Isso dáincógnitas de campo.
- a densidade
- Em formulação conservativa as incógnitas são frequentemente escritas como
— exatamente cinco variáveis conservadas. - As equações disponíveis são: continuidade (1), momento (3) e energia (1) → total
equações. Além disso existe uma equação de estado (por exemplo, para um gás perfeito) que relaciona , e ; essa equação de estado é necessária para fechar o sistema, mas não aumenta o número de incógnitas além das cinco já listadas.
Portanto, a afirmação (b) “um problema compressível tem cinco incógnitas” é verdadeira, entendendo-se o conjunto típico
(ou equivalentes conservativos).
Passo 6
Analisar a afirmação (c): “continuidade e Cauchy são suficientes para igualar o número de incógnitas no caso incompressível”.
- Já demonstrei que, no caso incompressível com propriedades conhecidas e com constituição do tipo newtoniano conhecida, há
incógnitas e as equações continuidade (1) + momento/Cauchy (3) somam equações. Logo do ponto de vista de contagem de equações versus incógnitas o sistema fecha. - Observações práticas e caveats (importante para prova): é necessário ter:
- a lei constitutiva que expressa
em função de e (por exemplo, fluido newtoniano), - condições de contorno e condições iniciais apropriadas,
- se houver outras variáveis físicas presentes (temperatura, composição química, campos eletromagnéticos, reações) surgirão incógnitas extras e serão necessárias equações adicionais (energia, espécies, etc.). O enunciado, porém, garante que “as propriedades do fluido e as condições de contorno são conhecidas”, então essas complicações não estão presentes.
- a lei constitutiva que expressa
- Portanto, sob as hipóteses dadas, a afirmação (c) é verdadeira: continuidade + Cauchy (com constituição conhecida) dão equações suficientes para determinar
e .
Resposta
(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro