12.42 Para o naftaleno a 25^{\circ} \mathrm{C}, o \log \mathrm{K}_{\mathrm{ow}}=3,30. Determine \Delta G_{c}^{\circ} para a transferência de naftaleno da fase rica em água para a fase rica em octanol.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e faz este pedido:
  • Dado: \log K_{\mathrm{ow}} = 3,30 para o naftaleno a 25^\circ\mathrm{C}. (Peguei esse valor diretamente do enunciado.)
  • Pedido: determinar \Delta G_{c}^{\circ} correspondente à transferência do naftaleno da fase rica em água para a fase rica em octanol.
Observação clara do que é K_{\mathrm{ow}}: K_{\mathrm{ow}} é o coeficiente de partição octanol/água, definido como a razão das concentrações na fase octanol e na fase água à condição padrão,
K_{\mathrm{ow}}=\frac{[\text{naftaleno}]_{\text{octanol}}}{[\text{naftaleno}]_{\text{água}}}.á

Passo 2

Qual fórmula relaciona \Delta G^{\circ} com K? A termodinâmica nos diz que, para a transferência representada pela “reação” água \to octanol, a variação de energia livre padrão está ligada à constante de equilíbrio pela equação
\Delta G^{\circ} = -R T \ln K,
onde:
  • \Delta G^{\circ} é a variação de energia livre padrão da transferência (em \mathrm{J\,mol^{-1}} ou \mathrm{kJ\,mol^{-1}});
  • R é a constante dos gases ideais, com valor R=8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K});
  • K é a constante de equilíbrio da “reação” (aqui, K=K_{\mathrm{ow}});
  • \ln é o logaritmo natural.
Explicação curta do porquê: essa fórmula vem da relação entre potencial químico em equilíbrio e a expressão de \Delta G em função do quociente de atividades; no equilíbrio padrão \Delta G^{\circ}=-RT\ln K.

Passo 3

Converter os dados para usar na fórmula.
Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} corresponde a
T = 25 + 273,15 = 298,15\\ \mathrm{K}.
Constante R: vou usar R=8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Precisamos de \ln K_{\mathrm{ow}}, mas foi dado \log K_{\mathrm{ow}}=3,30 (logaritmo na base 10). Usamos a relação \ln K = (\log K)\ln 10. Assim,
\ln K_{\mathrm{ow}} = 3{,}30 \times \ln 10.
Conhecendo \ln 10 \approx 2{,}302585093, temos
\ln K_{\mathrm{ow}} \approx 3{,}30 \times 2{,}302585093 \approx 7{,}59853.

Passo 4

Calcular R T para depois multiplicar por \ln K_{\mathrm{ow}}.
Cálculo de R T:
R T = 8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} \times 298{,}15\\ \mathrm{K}.
Uma conta aproximada passo a passo (fazível sem calculadora usando arredondamentos controlados):
8{,}3145\times 300 \approx 2494{,}35,
corrigindo por 1{,}85 kelvin a menos:
8{,}3145\times 1{,}85 \approx 15{,}39,
então
R T \approx 2494{,}35 - 15{,}39 = 2478{,}96\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 5

Agora calcular \Delta G_{c}^{\circ} = -R T \ln K_{\mathrm{ow}}.
Usando os valores obtidos:
\Delta G_{c}^{\circ} \approx - (2478{,}96\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}) \times 7{,}59853.
Faço a multiplicação em partes para ficar claro:
2478{,}96 \times 7 = 17\,352{,}72,
2478{,}96 \times 0{,}59853 \approx 1\,483{,}39,
somando,
2478{,}96 \times 7{,}59853 \approx 17\,352{,}72 + 1\,483{,}39 = 18\,836{,}11\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Portanto
\Delta G_{c}^{\circ} \approx -18\,836{,}11\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Convertendo para \mathrm{kJ\,mol^{-1}} (dividindo por 1000):
\Delta G_{c}^{\circ} \approx -18{,}84\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o sinal negativo indica que a transferência do naftaleno da fase água para a fase octanol é termodinamicamente favorável nas condições padrão — ou seja, o naftaleno prefere a fase orgânica (octanol), o que é coerente com o alto valor de K_{\mathrm{ow}} (composto hidrofóbico). Mandou bem por trazer a questão; agora já sabe usar \log K para achar \Delta G^\circ!

Resposta

-18{,}84\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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