Muitas determinações em Termodinâmica são efetuadas considerando a situação ideal. A dependência da Energia de Gibbs com a pressão, considerando comportamento ideal, implica que \bar{G}(T, p)=G^{0}\left(T, p^{0}\right)+R T \ln \left(\frac{p}{p^{0}}\right). Para preservar a estrutura das equações obtidas e contemplar o desvio da idealidade, por exemplo, no caso da dependência de G em relação a p, faz-se uso da fugacidade ( f ), que pode ser considerada uma pressão efetiva. De certa forma, pode-se afirmar que a fugacidade corresponde a uma medida da “não idealidade” de um gás. Considerando essa quantidade, pode-se escrever: \bar{G}(T, p)=G^{0}\left(T, p^{0}\right)+R T \ln \left(\frac{f}{p^{0}}\right), para a qual f=\varphi \times p, sendo \varphi, o coeficiente de fugacidade. Tendo em vista que \ln \frac{f}{p}=\ln \varphi, o conhecimento do fator de compressibilidade ( Z ) possibilita a determinação da fugacidade de um gás, mediante emprego da Expressão 11 . Calcule a fugacidade do gás argônio, em 100 atm e \mathrm{T}=600 \mathrm{~K}, sabendo-se que o segundo coeficiente do virial B_{2 V}(T) para esse gás, em 600 K , corresponde a 0,012 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}. Considere a Expansão 12, a Expressão 11 e R=0,08205 \frac{\text { L.atm }}{\text { mol.K }}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes valores do enunciado):
  • Pede: calcular a fugacidade do gás argônio em p=100\\ \mathrm{atm} e T=600\\ \mathrm{K}.
  • Dados:
    • Pressão: p=100\\ \mathrm{atm}.
    • Temperatura: T=600\\ \mathrm{K}.
    • Segundo coeficiente do virial (em volume): B_{2V}(T)=0,012\\ \mathrm{L/mol} (este valor foi informado).
    • Constante dos gases: R=0,08205\\ \dfrac{\mathrm{L\cdot atm}}{\mathrm{mol\cdot K}}.
  • Condições do enunciado a usar: a Expressão 11 (a relação entre fugacidade e Z) e a Expansão 12 (expansão virial truncada no segundo coeficiente). Vamos usar essas fórmulas diretamente.

Passo 2

Entendendo fugacidade e a relação que vamos usar.
  • Fugacidade f é uma “pressão efetiva” que corrige a não-idealidade; define-se o coeficiente de fugacidade \varphi por
f=\varphi\,p.
  • A Expressão 11 (forma padrão usada) relaciona \varphi com o fator de compressibilidade Z via a integral
\ln\!\left(\frac{f}{p}\right)=\int_{0}^{p}\frac{Z-1}{p'}\,\mathrm{d}p'.
Explicação didática: aqui Z é o fator de compressibilidade definido por Z=\dfrac{pV_m}{RT}, onde V_m é o volume molar. A expressão acima vem de integrar a diferença entre comportamento real e ideal (para o potencial de Gibbs) ao variar a pressão desde o limite de gás ideal ( p\to0) até a pressão p.

Passo 3

Qual expansão do fator de compressibilidade vamos usar (Expansão 12) e por que.
  • A expansão virial truncada no segundo coeficiente, escrita em função da pressão (forma apropriada para integrar sobre p), é aproximada por
Z \approx 1 + \frac{B_{2V}(T)\,p}{R T}.
Aqui:
  • Z é adimensional;
  • B_{2V}(T) é o segundo coeficiente do virial expresso em unidades de volume por mol ( \mathrm{L/mol}); esse é exatamente o valor fornecido no enunciado;
  • R é a constante dos gases e T a temperatura.
    Motivo: essa forma é obtida combinando a expansão em densidade com a relação \rho\approx p/(RT) válida a baixas ordens — e é a forma pedida pelo enunciado (usar a Expansão 12).

Passo 4

Substituição da expansão na integral e integração (obter fórmula prática).
  • Substituindo Z na expressão integral,
\ln\!\left(\frac{f}{p}\right)=\int_{0}^{p}\frac{\left(1+\dfrac{B_{2V} p'}{RT}\right)-1}{p'}\,\mathrm{d}p' =\int_{0}^{p}\frac{B_{2V} p'}{RT}\cdot\frac{1}{p'}\,\mathrm{d}p'.
  • Simplificando o integrando, fica uma constante em relação a p':
\frac{B_{2V} p'}{RT}\cdot\frac{1}{p'}=\frac{B_{2V}}{RT}.
  • Integrando de 0 a p:
\ln\!\left(\frac{f}{p}\right)=\int_{0}^{p}\frac{B_{2V}}{RT}\,\mathrm{d}p'=\frac{B_{2V}\,p}{R T}.
  • Portanto a expressão prática que vamos usar é
\ln\!\left(\frac{f}{p}\right)=\frac{B_{2V}\,p}{R T}, \qquad\text{ou seja}\qquad \varphi=\exp\!\left(\frac{B_{2V}\,p}{R T}\right), \qquad f=\;p\;\exp\!\left(\frac{B_{2V}\,p}{R T}\right).
Comentário didático: isso é uma aproximação válida quando a expansão virial truncada é aceitável (aqui o enunciado pede explicitamente esse procedimento).

Passo 5

Substituir os números e calcular passo a passo (contas sem pular etapas).
  • Primeiro calcule o produto B_{2V}\,p:
B_{2V}\,p = (0,012\\ \mathrm{L/mol})\times(100\\ \mathrm{atm})=1,2\\ \frac{\mathrm{L\cdot atm}}{\mathrm{mol}}.
  • Depois calcule R T:
R T=(0,08205\\ \dfrac{\mathrm{L\cdot atm}}{\mathrm{mol\cdot K}})\times(600\\ \mathrm{K})=49,23\\ \frac{\mathrm{L\cdot atm}}{\mathrm{mol}}.
  • Agora a razão que entra no exponencial:
\frac{B_{2V}\,p}{R T}=\frac{1,2}{49,23}\approx 0,024372\ldots
  • Calcule o coeficiente de fugacidade \varphi:
\varphi=\exp(0,024372\ldots)\approx 1,024676\ldots
(usar a série de Taylor ou uma calculadora: e^{0,024372}\approx1+0,024372+0,5(0,024372)^2+\cdots.)
  • Finalmente calcule a fugacidade:
f=\varphi\,p=1,024676\ldots\times 100\\ \mathrm{atm}\approx 102,4676\\ \mathrm{atm}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais): f\approx102,47\\ \mathrm{atm}.

Resposta

f\approx 102,47\\ \mathrm{atm}

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