12.67 An advanced spatial disorientation trainer is programmed to only rotate and translate in the horizontal plane. The pilot’s location is defined by the relationships
and
, where
, and
are expressed in feet, radians, and seconds, respectively. Determine the radial and transverse components of the force exerted on the 175-lb pilot at
.
Passo 1
O enunciado dá o movimento de um piloto em coordenadas polares no plano horizontal por
[ r(t)=8\bigl(1-e^{-t}\bigr),\quad
\theta(t)=\frac{2}{\pi}\sin!\Bigl(\frac{\pi}{2}t\Bigr) ]
com em pés,
em radianos e
em segundos. Pede-se o vetor força nos componentes radial e transverso em
,s, sabendo que o peso do piloto é
,lbf.
[ r(t)=8\bigl(1-e^{-t}\bigr),\quad
\theta(t)=\frac{2}{\pi}\sin!\Bigl(\frac{\pi}{2}t\Bigr) ]
com
Para isso vamos:
. Obter as derivadas
.
. Usar as fórmulas da aceleração em polares
[ a_r = \ddot r - r,\dot\theta^{2},\qquad
a_{\theta} = r,\ddot\theta + 2,\dot r,\dot\theta. ]
. Calcular a massa
(com
,ft/
) e então
[ F_r = m,a_r,\quad F_{\theta}=m,a_{\theta}. ]
[ a_r = \ddot r - r,\dot\theta^{2},\qquad
a_{\theta} = r,\ddot\theta + 2,\dot r,\dot\theta. ]
[ F_r = m,a_r,\quad F_{\theta}=m,a_{\theta}. ]
Passo 2
Derivadas gerais:
Passo 3
Avalia em
,s:
[ e^{-3}\approx0{,}049787,\quad
r(3)=8(1-e^{-3})\approx7{,}6017,ft, ]
[ \dot r(3)=8e^{-3}\approx0{,}3983,ft/s,\quad
\ddot r(3)=-0{,}3983,ft/s^2, ]
[ \dot\theta(3)=\cos!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0,
\quad
\ddot\theta(3)=-\sin!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\cdot\tfrac{\pi}{2}
=\frac{\pi}{2}\approx1{,}5708,rad/s^2. ]
[ e^{-3}\approx0{,}049787,\quad
r(3)=8(1-e^{-3})\approx7{,}6017,ft, ]
[ \dot r(3)=8e^{-3}\approx0{,}3983,ft/s,\quad
\ddot r(3)=-0{,}3983,ft/s^2, ]
[ \dot\theta(3)=\cos!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0,
\quad
\ddot\theta(3)=-\sin!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\cdot\tfrac{\pi}{2}
=\frac{\pi}{2}\approx1{,}5708,rad/s^2. ]
Passo 4
Acelerações em polares em
:
Passo 5
Massa do piloto:
Logo as componentes da força são
Resposta
Radial:
,lbf (inward)
Transversa: ,lbf (na direção de
crescente)
Transversa: