12.67 An advanced spatial disorientation trainer is programmed to only rotate and translate in the horizontal plane. The pilot’s location is defined by the relationships r=8(1-e^-t) and theta=2 / pi(sin pi2 t), where r, theta, and t are expressed in feet, radians, and seconds, respectively. Determine the radial and transverse components of the force exerted on the 175-lb pilot at t=3 s.

Passo 1

O enunciado dá o movimento de um piloto em coordenadas polares no plano horizontal por
[ r(t)=8\bigl(1-e^{-t}\bigr),\quad
\theta(t)=\frac{2}{\pi}\sin!\Bigl(\frac{\pi}{2}t\Bigr) ]
com r em pés, theta em radianos e t em segundos. Pede-se o vetor força nos componentes radial e transverso em t=3,s, sabendo que o peso do piloto é 175,lbf.
Para isso vamos:
1. Obter as derivadas dot r, ddot r, dottheta, ddottheta.
2. Usar as fórmulas da aceleração em polares
[ a_r = \ddot r - r,\dot\theta^{2},\qquad
a_{\theta} = r,\ddot\theta + 2,\dot r,\dot\theta. ]
3. Calcular a massa m = W/g (com g=32,2,ft/ s^2) e então
[ F_r = m,a_r,\quad F_{\theta}=m,a_{\theta}. ]

Passo 2

Derivadas gerais:
dot r = ddtl[8(1-e^-t)r] =8e^-t, ddot r = -8e^-t
dottheta = ddtl[tfrac2pisin!l(tfracpi2tr)r] =2picos!l(tfracpi2tr)cdotpi2 =cos!l(tfracpi2tr),
ddottheta = -sin!l(tfracpi2tr)cdotpi2

Passo 3

Avalia em t=3,s:
[ e^{-3}\approx0{,}049787,\quad
r(3)=8(1-e^{-3})\approx7{,}6017,ft, ]
[ \dot r(3)=8e^{-3}\approx0{,}3983,ft/s,\quad
\ddot r(3)=-0{,}3983,ft/s^2, ]
[ \dot\theta(3)=\cos!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0,
\quad
\ddot\theta(3)=-\sin!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\cdot\tfrac{\pi}{2}
=\frac{\pi}{2}\approx1{,}5708,rad/s^2. ]

Passo 4

Acelerações em polares em t=3:
ar = ddot r - r,dottheta^2 = -0,3983 - 7,6017cdot0^2 = -0,3983 ft/s^2,
atheta = r,ddottheta + 2,dot r,dottheta =7,6017cdot1,5708 +2cdot0,3983cdot0 approx11,938 ft/s^2

Passo 5

Massa do piloto:
m=Wg=17532,2approx5,435 slug
Logo as componentes da força são
Fr = m,ar approx5,435times(-0,3983)approx-2,16 lbf,
Ftheta=m,athetaapprox5,435times11,938approx64,9 lbf

Resposta

Radial: ,Frapprox-2,16,lbf (inward)
Transversa: ,Fthetaapprox64,9,lbf (na direção de theta crescente)

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