12.74 A particle of mass m is projected from point A with an initial velocity v0 perpendicular to line O A and moves under a central force F directed away from the center of force O. Knowing that the particle follows a path defined by the equation r=r0 / raizcos 2 theta and using Eq. (12.25), express the radial and transverse components of the velocity v of the particle as functions of theta.

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula de massa m projetada de A, que está a distância r0 de O, com velocidade inicial v0 perpendicular a OA. Sob uma força central repulsiva, a trajetória satisfaz
r = r0raizcos 2theta
Queremos os componentes radial vr e transversal vtheta da velocidade v em função de theta. Para isso vamos usar conservação do momento angular e as fórmulas
vr=dot r=drdtheta,dottheta, vtheta=r,dottheta

Passo 2

Calculemos primeiro
drdtheta = ddthetal[r0(cos2theta)^-1/2r] = r0l(-tfrac12r)(cos2theta)^-3/2cdot(-2sin2theta) = r0,sin2theta(cos2theta)^3/2
Como (cos2theta)^-3/2=(cos2theta)^-1/2cdot(cos2theta)^-1=rr01cos2theta, segue
drdtheta = r,sin2thetacos2theta = rtan2theta

Passo 3

Pelo momento angular L=m,r^2dottheta, constante e igual a m,r0v0, temos
dottheta=Lm,r^2 =r0v0r^2
Logo o componente radial é
vr=dot r =drdtheta,dottheta =(rtan2theta),r0v0r^2 = v0,r0r,tan2theta
Como r0r=raizcos2theta, resulta
vr = v0,sin2thetaraizcos2theta

Passo 4

O componente transversal é
vtheta=r,dottheta = r,r0v0r^2 = v0,r0r = v0,raizcos2theta

Resposta

vr(theta)=v0,sin2thetaraizcos2theta, vtheta(theta)=v0,raizcos2theta

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