12.78 Determine the mass of the earth knowing that the mean radius of the moon’s orbit about the earth is 238,910 mi and that the moon requires 27.32 days to complete one full revolution about the earth.

Passo 1

O enunciado pede a massa da Terra usando o raio médio da órbita lunar r=238,910 milhas e o período orbital T=27,32 dias. Vamos aplicar a 3ª lei de Kepler na forma de dinâmica newtoniana, que resulta em
T^2 = 4pi^2G MT,r^3,
onde G é a constante gravitacional e MT é a massa da Terra.

Passo 2

Converter os dados para unidades SI:
– Raio orbital r:
r = 238,910 mitimes1609,34mmi = 238,910times1609,34 m approx3,844times10^8 m
– Período T:
T = 27,32 dtimes24hdtimes3600sh =27,32times86400 s approx2,36times10^6 s

Passo 3

Isolando MT da relação
T^2 = 4pi^2G MT,r^3
temos
MT = 4pi^2,r^3G,T^2

Passo 4

Substituindo os valores numéricos ( G=6,67times10^-11,m^3,kg^-1,s^-2):
MT = 4pi^2,(3,844times10^8)^36,67times10^-11,(2,36times10^6)^2 approx6,0times10^24 kg

Resposta

A massa da Terra é aproximadamente 6,0times10^24 kg.

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