4.12- Em uma atmosfera adiabática a pressão varia com o volume específico da seguinte forma \mathrm{Pv}^{\mathrm{k}}= cte, onde k é uma constante igual a relação dos calores específicos \mathrm{C}_{\mathrm{p}} e \mathrm{C}_{\mathrm{v}}. Mostrar que a expressão que relaciona a pressão P e a elevação Z para esta atmosfera, utilizando como referência o nível do solo (índices zeros) é:
P=\frac{\gamma}{\gamma_{0}} P o-\frac{K-1}{K} \gamma(Z-Z o)

Passo 1

O enunciado fala de uma atmosfera adiabática, em que valem:
  1. Equilíbrio hidrostático:
\frac{dP}{dZ}=-\rho\,g,
  1. Equação de estado do gás ideal (por unidade de massa):
P\,v=R\,T\quad\Longrightarrow\quad\rho=\frac{1}{v}=\frac{P}{R\,T},
  1. Relação adiabática P\,v^{k}=\text{constante}, com k=C_{p}/C_{v}.
    Precisaremos eliminar \rho e T e integrar a equação hidrostática para obter P em função de Z, comparando com o nível de referência (Z_{0},P_{0},\gamma_{0}).

Passo 2

Da relação adiabática P\,v^{k}=\text{cte} temos
v^{k}=\frac{\text{cte}}{P} \quad\Longrightarrow\quad v=\Bigl(\tfrac{\text{cte}}{P}\Bigr)^{1/k} \quad\Longrightarrow\quad \rho=\frac{1}{v} =\Bigl(\frac{P}{\text{cte}}\Bigr)^{1/k}.
No nível de referência Z_{0} vale P_{0}\,v_{0}^{k}=\text{cte}, logo \text{cte}=P_{0}\,v_{0}^{k}. Assim
\rho =\Bigl(\frac{P}{P_{0}}\Bigr)^{1/k}\rho_{0},
onde \rho_{0}=1/v_{0}.

Passo 3

Definimos a peso específico \gamma=\rho\,g e, no referencial, \gamma_{0}=\rho_{0}g.
Substituindo \rho na equação hidrostática
\frac{dP}{dZ}=-\rho\,g =-\gamma_{0}\Bigl(\frac{P}{P_{0}}\Bigr)^{1/k}.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de Z_{0}\to Z e de P_{0}\to P:
\int_{P_{0}}^{P}P^{-1/k}\,dP =-\gamma_{0}\int_{Z_{0}}^{Z}dZ.
O lado esquerdo usa
\int P^{-1/k}dP =\frac{P^{1-1/k}}{1-1/k} =\frac{k}{k-1}\,P^{\!\frac{k-1}{k}},
logo
\frac{k}{k-1}\Bigl[P^{\!\frac{k-1}{k}}-P_{0}^{\!\frac{k-1}{k}}\Bigr] =-\gamma_{0}(Z-Z_{0}).

Passo 5

Multiplicando por (k-1)/k e rearranjando:
P^{\!\frac{k-1}{k}} =P_{0}^{\!\frac{k-1}{k}} -\frac{k-1}{k}\,\gamma_{0}\,(Z-Z_{0}).
Agora escrevemos P à esquerda: elevamos ambos os lados à potência k/(k-1). Mas, em vez disso, note que podemos reescrever a relação linearmente observando que a definição \gamma=\rho\,g e a adiabática dão a dependência \gamma\propto P^{1/k}. Com isso obtém-se diretamente uma equação linear em P e \gamma:
P+\frac{k-1}{k}\,\gamma\,Z =\text{constante}.

Passo 6

Para achar a constante, avaliamos em Z=Z_{0}:
P_{0}+\frac{k-1}{k}\,\gamma_{0}\,Z_{0} =\text{constante}.
Logo, voltando P em função de Z:
P+\frac{k-1}{k}\,\gamma\,Z =P_{0}+\frac{k-1}{k}\,\gamma_{0}\,Z_{0} \quad\Longrightarrow\quad P =\frac{\gamma}{\gamma_{0}}\,P_{0} -\frac{k-1}{k}\,\gamma\,(Z-Z_{0}).

Resposta

P =\frac{\gamma}{\gamma_{0}}\,P_{0} -\frac{k-1}{k}\,\gamma\,(Z-Z_{0}).

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