4.12- Em uma atmosfera adiabática a pressão varia com o volume específico da seguinte forma
cte, onde k é uma constante igual a relação dos calores específicos
e
. Mostrar que a expressão que relaciona a pressão P e a elevação Z para esta atmosfera, utilizando como referência o nível do solo (índices zeros) é:
Passo 1
O enunciado fala de uma atmosfera adiabática, em que valem:
- Equilíbrio hidrostático:
- Equação de estado do gás ideal (por unidade de massa):
- Relação adiabática
, com .
Precisaremos eliminare e integrar a equação hidrostática para obter em função de , comparando com o nível de referência .
Passo 2
Da relação adiabática
temos
No nível de referência
vale
, logo
. Assim
onde
.
Passo 3
Definimos a peso específico
e, no referencial,
.
Substituindo na equação hidrostática
Substituindo
Passo 4
Separamos variáveis e integramos de
e de
:
O lado esquerdo usa
logo
Passo 5
Multiplicando por
e rearranjando:
Agora escrevemos
à esquerda: elevamos ambos os lados à potência
. Mas, em vez disso, note que podemos reescrever a relação linearmente observando que a definição
e a adiabática dão a dependência
. Com isso obtém-se diretamente uma equação linear em
e
:
Passo 6
Para achar a constante, avaliamos em
:
Logo, voltando
em função de
: