12)

a) Considere um capacitor esférico, formado por cascas esféricas condutoras com raio interno a=3 \mathrm{~cm} e raio externo b=6 \mathrm{~cm}, preenchido com um material dielétrico perfeito cuja permissividade relativa é \varepsilon_{r}=8. Determine a capacitância do sistema.
b) Agora considere que uma quantidade desse dielétrico seja removido e seja substituída por outro material de \varepsilon_{r 2}=2 na região 0<\varphi<\pi / 2 e \varepsilon_{r}=8 na região \pi / 2 <\varphi<\pi. Encontre o novo valor da capacitância do sistema.
Resp: (a) 53,38 \mathrm{pF} (b) 43,32 pF

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras concêntricas de raios internos a=3\:\text{cm} e externos b=6\:\text{cm}. Na parte (a) todo o espaço entre as cascas está preenchido por dielétrico de permissividade relativa \varepsilon_{r}=8. Na parte (b) esse dielétrico de \varepsilon_{r}=8 é substituído, em \varphi\in[0,\pi/2], por outro de \varepsilon_{r2}=2, enquanto em \varphi\in[\pi/2,\pi] permanece o dielétrico \varepsilon_{r1}=8.
O conteúdo principal é o cálculo de capacitância de capacitor esférico com dielétricos homogêneos (parte a) e não homogêneos em \varphi (parte b). Usaremos:
  • Para dielétrico uniforme,
C = 4\pi\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\frac{a\,b}{\,b - a\,}\,.
  • Para dielétrico que varia com o ângulo polar \varphi, dividimos o capacitor em “fatias” em paralelo e integramos sobre o sólido angular:
C = \frac{\varepsilon_0\,a\,b}{\,b - a\,}\,\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\varepsilon_r(\varphi)\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta\,.

Passo 2

Parte (a): dielétrico uniforme \varepsilon_{r}=8.
Substituindo diretamente na fórmula,
C_a = 4\pi\,\varepsilon_0\,(8)\,\frac{a\,b}{b - a} =4\pi\,\varepsilon_0\,(8)\,\frac{(0{,}03)(0{,}06)}{0{,}06-0{,}03}\,.
Calculando o fator geométrico:
\frac{(0{,}03)(0{,}06)}{0{,}03}=0{,}06\,.
E lembrando que 4\pi\,\varepsilon_0\approx1{,}11265\times10^{-10}\:\mathrm{F/m}, temos
C_a=1{,}11265\times10^{-10}\times8\times0{,}06 \approx5{,}34\times10^{-11}\:\mathrm{F} =53{,}38\:\mathrm{pF}\,.

Passo 3

**Parte (b): dielétrico em dois setores de \varphi\).** Usamos \[C_b =\frac{\varepsilon_0\,a\,b}{b - a} \int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta \int_{0}^{\pi}\varepsilon_r(\varphi)\,\sin\varphi\,d\varphi = \frac{\varepsilon_0\,a\,b}{b - a}\,(2\pi)\, \int_{0}^{\pi}\varepsilon_r(\varphi)\,\sin\varphi\,d\varphi.
Aqui
\varepsilon_r(\varphi)= \begin{cases} 2, & 0\le\varphi\le\pi/2,\\[6pt] 8, & \pi/2\le\varphi\le\pi. \end{cases}
Logo
\int_{0}^{\pi}\varepsilon_r(\varphi)\sin\varphi\,d\varphi =2\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi +8\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi.
Mas
\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi =[-\cos\varphi]_0^{\pi/2}=1\] e \(\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi =[-\cos\varphi]_{\pi/2}^{\pi}=1.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\varepsilon_r(\varphi)\sin\varphi\,d\varphi =2\cdot1+8\cdot1=10.
Assim
C_b =\frac{\varepsilon_0\,a\,b}{b - a}\,(2\pi)\,(10) =20\pi\,\varepsilon_0\,\frac{a\,b}{b - a}.
Comparando com o caso uniforme, nota-se que
C_b =\frac{20\pi}{4\pi\cdot8}\;C_{\text{vácuo}} = \frac{10}{8}\times\bigl(4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a}\bigr) =\frac{10}{8}\,C_{\text{vácuo}} =5\times\bigl(\varepsilon_0\frac{ab}{b-a}\bigr).áá
Mas \varepsilon_0\,ab/(b-a)=6{,}676\times10^{-12}\:\mathrm{F}, logo
C_b=5\times6{,}676\times10^{-12}\:\mathrm{F} =3{,}338\times10^{-11}\:\mathrm{F} =33{,}38\:\mathrm{pF}.]

Resposta

a) 53{,}38\:\mathrm{pF}
b) 33{,}38\:\mathrm{pF}

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