seja V=x^{2} y^{2} z em uma região \left(\varepsilon=2 \varepsilon_{0}\right) definida por -1<x, y, z<1. Determine a densidade de carga \rho_{v} nessa região.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial
V(x,y,z)=x^{2}y^{2}z
em uma região onde a permissividade é constante e igual a \varepsilon=2\varepsilon_{0}, para -1<x,y,z<1. Pede-se a densidade volumétrica de carga \rho_{v}. O conteúdo de matéria é a equação de Poisson em meios homogêneos:
\nabla^{2}V=-\frac{\rho_{v}}{\varepsilon}.

Passo 2

Como \varepsilon é constante, podemos reescrever a equação de Poisson na forma
\rho_{v}=-\varepsilon\,\nabla^{2}V.
Ou seja, basta calcular o laplaciano de V e multiplicar por -\varepsilon.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada segunda de V=x^{2}y^{2}z:
\frac{\partial V}{\partial x}=2x\,y^{2}z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}=2\,y^{2}z,
\frac{\partial V}{\partial y}=2y\,x^{2}z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=2\,x^{2}z,
\frac{\partial V}{\partial z}=x^{2}y^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0.

Passo 4

Somando, o laplaciano fica
\nabla^{2}V =\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}} +\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}} =2\,y^{2}z+2\,x^{2}z =2z\,(x^{2}+y^{2}).

Passo 5

Agora aplicamos \rho_{v}=-\varepsilon\,\nabla^{2}V com \varepsilon=2\varepsilon_{0}:
\rho_{v} =-\bigl(2\varepsilon_{0}\bigr)\;2z\,(x^{2}+y^{2}) =-4\varepsilon_{0}\;z\,(x^{2}+y^{2}).

Resposta

\rho_{v}(x,y,z)=-4\,\varepsilon_{0}\;z\,(x^{2}+y^{2}), \quad \text{para }-1<x,y,z<1.

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