(Sadiku - 6.34) As cascas concêntricas \mathrm{r}=20 \mathrm{~cm} \mathrm{e} \mathrm{r}=30 \mathrm{~cm} são mantidas a \mathrm{V}=0 e V =50 \mathrm{~V}, respectivamente. Se o espaço entre elas é preenchido com material dielétrico ( \varepsilon=3.1 e \sigma=10^{-12} \mathrm{~S} / \mathrm{m} ), encontre:
a) V, E e D
b) A densidade de cargas nas cascas
c) A resistência de perdas
Resp: (a) \mathrm{V}(\mathrm{r})=-30 / \mathrm{r}+150 \mathrm{~V}, \mathbf{E}(\mathrm{r})=-30 / \mathrm{r}^{2} \mathbf{a}_{\mathrm{r}} \mathrm{V} / \mathrm{m}, \mathbf{D}(\mathrm{r})=0.8223 / \mathrm{r}^{2} \mathbf{a}_{\mathrm{r}} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}(\mathrm{~b}) \rho_{\mathrm{s}}= 9.137 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}(\mathrm{r}=30 \mathrm{~cm}) e \rho_{\mathrm{s}}=-20.56 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}(\mathrm{c}) \mathrm{R}=132,6 \mathrm{G} \Omega

Passo 1

O enunciado descreve duas cascas esféricas concêntricas de raios a=0{,}20\\ \mathrm m e b=0{,}30\\ \mathrm m, mantidas nos potenciais V(a)=0 e V(b)=50\\ \mathrm V. Entre elas há um dielétrico homogêneo com \varepsilon_r=3{,}1 (logo \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r) e condutividade \sigma=10^{-12}\\ \mathrm S/\mathrm m. Precisamos achar:
a) o potencial V(r), o campo elétrico \mathbf E(r) e o vetor deslocamento \mathbf D(r) para a<r<b;
b) as densidades de carga livre nas superfícies metálicas;
c) a resistência ôhmica entre as cascas.

Passo 2

Como não há cargas no volume do dielétrico, V(r) satisfaz a equação de Laplace em coordenadas esféricas e a solução geral radial é
V(r)=A+\frac{B}{r}\,.
Impondo as condições de contorno \,V(a)=0, e \,V(b)=50, obtemos
\begin{cases} A+\dfrac{B}{a}=0,\\[6pt] A+\dfrac{B}{b}=50, \end{cases}
isto é
A=-\frac{B}{a},\quad -\frac{B}{a}+\frac{B}{b}=50 \;\Longrightarrow\;B=-30,\;A=150.
Logo
V(r)=150-\frac{30}{r}\quad(\mathrm{V}).
]

Passo 3

O campo elétrico radial é
\mathbf E(r)=-\frac{dV}{dr}\,\mathbf a_r =-\left(-\frac{30}{r^2}\right)\mathbf a_r =-\frac{30}{r^2}\,\mathbf a_r \quad(\mathrm V/m).

Passo 4

O vetor deslocamento é \mathbf D=\varepsilon\,\mathbf E com \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r. Logo
D_r(r) =\varepsilon_0\varepsilon_r\left(-\frac{30}{r^2}\right) =-\frac{0{,}8234}{r^2}\;\mathrm{nC/m^2} \quad\text{na direção }\mathbf a_r.çã

Passo 5

A densidade de carga livre na casca interna ( r=a) é
\rho_{s,i} =D_r(a) =-\frac{0{,}8234}{a^2} =-20{,}56\;\mathrm{nC/m^2}.
Na casca externa ( r=b) o normal externo ao dielétrico é -\mathbf a_r, então
\rho_{s,e} =-D_r(b) =-\Bigl(-\frac{0{,}8234}{b^2}\Bigr) =9{,}14\;\mathrm{nC/m^2}.

Passo 6

A resistência ôhmica entre r=a e r=b é
R=\int_a^b\frac{dr}{\sigma\,4\pi r^2} =\frac{1}{4\pi\sigma}\Bigl(\frac1a-\frac1b\Bigr) \approx1{,}326\times10^{11}\\ \Omega =132{,}6\\ \mathrm{G\Omega}.

Resposta

(a)
V(r)=150-\frac{30}{r}\\ \mathrm V,\quad \mathbf E(r)=-\frac{30}{r^2}\,\mathbf a_r\\ \mathrm{V/m},\quad \mathbf D(r)=-\frac{0{,}8234}{r^2}\,\mathbf a_r\\ \mathrm{nC/m^2}.
(b)
\rho_{s}(r=0{,}20\,\mathrm m)=-20{,}56\\ \mathrm{nC/m^2}, \rho_{s}(r=0{,}30\,\mathrm m)=9{,}14\\ \mathrm{nC/m^2}.
(c)
R=132{,}6\\ \mathrm{G\Omega}.

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