12 Escreva as equações de taxa de um laser e descreva o significado de cada termo. Além disso encontre a solução estacionária do sistema.

Passo 1

A questão trata das equações de taxa de um laser de dois níveis, envolvendo a densidade de inversão de população N(t) e a densidade de fótons no modo ressonante S(t). Vamos precisar usar as definições de taxa de bombeamento, decaimento de portadores, emissão estimulada, geração de fótons e perdas ópticas.

Passo 2

As equações de taxa do laser são dadas por:
dNdt = R - Ntauc - G,N,S
dSdt = Gamma,G,N,S - Staup
Onde:
R é a taxa de bombeamento (portadores por segundo por unidade de volume).
tauc é o tempo de vida dos portadores (carrier lifetime).
G é o coeficiente de ganho por portador (estimulado).
Gamma é o fator de confinamento óptico.
taup é o tempo de vida dos fótons na cavidade (photon lifetime).

Passo 3

Na equação de dN/dt:
R adiciona portadores.
N/tauc descreve o decaimento espontâneo dos portadores.
GNS representa a perda de portadores por emissão estimulada.
Na equação de dS/dt:
Gamma GNS é a geração de fótons via emissão estimulada.
S/taup são as perdas de fótons por escape ou absorção na cavidade.

Passo 4

Para encontrar a condição estacionária, impomos
dNdt=0, dSdt=0
Da segunda equação em zero:
0 = Gamma G N0 S0 - S0taup = S0l(Gamma G N0 - 1taupr)
Isso gera duas soluções possíveis:
  1. S0 = 0 (sem emissão coerente).
  2. N0 = Nth equiv 1Gamma G,taup (condição de limiar).

Passo 5

Analisando cada caso na primeira equação estacionária:
  1. Para S0 = 0:
0 = R - N0tauc implies N0 = R,tauc
2) Para N0 = Nth:
0 = R - Nthtauc - G,Nth,S0 implies S0 = R - Nth/taucG,Nth
Definimos a taxa de bombeamento de limiar Rth = Nth/tauc.

Passo 6

Assim, a solução estacionária completa é:
• Se R < Rth:
N0 = R,tauc, S0 = 0
• Se R >= Rth:
N0 = Nth = 1Gamma G,taup, S0 = R - RthG,Nth

Resposta

A solução estacionária é
Para R<R_{th}:
N_{0}=R,\tau_{c},\quad S_{0}=0
Para R\ge R_{th}:
N_{0}=\frac{1}{\Gamma G,\tau_{p}},\quad S_{0}=\frac{R-R_{th}}{G,N_{th}},
com N_{th}=1/(\Gamma G,\tau_{p}) e R_{th}=N_{th}/\tau_{c}.

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