11 Excitações Elementares em Semicondutores: Exciton. Descreva o que é um exciton. A atração de um elétron por um buraco num semicondutor pode ser descrita pelo potencial coulombiano,
da forma:
onde
é a permissividade dielétrica do meio material. O par elétron-buraco forma um “átomo” hidrogenóide, mas ao contário do átomo de hidrogênio, onde o núcleo é muito mais massivo do que o elétron, o elétron e a lacuna tem aproximadamente a mesma massa, devendo ser caracterizados pela massa reduzida
Os níveis de energia, relativos ao mínimo da banda de condução ficam então quantizados na forma
a) Encontre os níveis de energia excitônicos do silício, considerando-se a massa efetiva de elétrons e buracos no silício e também o
característico do mesmo.
b) Qual é a frequência do fóton absorvido para quebrar um par elétron-buraco cujo nível de energia é
.
c) Qual o raio aproximado da órbita do elétron em relação ao buraco, no nível
?
d) O que são excitons de Mott e excitons de Frenkel?
da forma:
b) Qual é a frequência do fóton absorvido para quebrar um par elétron-buraco cujo nível de energia é
c) Qual o raio aproximado da órbita do elétron em relação ao buraco, no nível
d) O que são excitons de Mott e excitons de Frenkel?
Passo 1
O problema pede para entender o conceito de exciton em semicondutores usando o modelo hidrogenoide com potencial Coulombiano, calcular os níveis de energia excitônicos no silício (parte a), achar a frequência do fóton para ionizar o par elétron-buraco no nível fundamental (parte b), estimar o raio da “órbita” do elétron em torno do buraco para n=1 (parte c) e, finalmente, explicar o que são excitons de Mott (ou Wannier–Mott) e excitons de Frenkel (parte d). Vamos usar a teoria de átomos de hidrogênio modificados pela massa reduzida e pela permissividade do material.
Passo 2
Primeiro determinamos a massa reduzida e a energia de ligação (binding energy) do exciton no silício. Tomando as massas efetivas típicas do silício: massa efetiva do elétron
e massa efetiva do buraco
, a massa reduzida é
A permissividade relativa do silício é
. A energia de ligação do exciton (equivalente a
no hidrogênio) cai segundo
Passo 3
Os níveis excitônicos ficam então dados por
Logo para alguns níveis:
Passo 4
Para quebrar (ionizar) o par no nível
é preciso um fóton com energia
. Assim a frequência é
Passo 5
O raio excitônico para
(análoga ao raio de Bohr) cresce em relação ao átomo de hidrogênio por um fator
. Usando o raio de Bohr
temos
Passo 6
Excitons de Mott (ou Wannier–Mott) são excitons hidrogenoides em semicondutores ou materiais com alta permissividade: têm raio grande (vários nm), energia de ligação baixa (alguns meV) e ficam bem delocalizados. Excitons de Frenkel aparecem em isolantes moleculares ou cristais orgânicos: a lacuna e o elétron ficam confinados a um mesmo sítio atômico ou molécula, têm raio pequeno (~0,5–1 nm) e energia de ligação alta (~0,5–1 eV).
Resposta
a) Os níveis excitônicos do silício valem
, logo
,
, etc.
b) Para ionizar o estado fundamental ( ) é necessária frequência
.
c) O raio excitônico em é aproximadamente
.
d) Excitons de Mott (ou Wannier–Mott): hidrogenoides, fracos e delocalizados (raio grande, energia de ligação baixa). Excitons de Frenkel: fortemente ligados e localizados (raio da ordem de uma célula, energia de ligação alta).
b) Para ionizar o estado fundamental (
c) O raio excitônico em
d) Excitons de Mott (ou Wannier–Mott): hidrogenoides, fracos e delocalizados (raio grande, energia de ligação baixa). Excitons de Frenkel: fortemente ligados e localizados (raio da ordem de uma célula, energia de ligação alta).