11 Excitações Elementares em Semicondutores: Exciton. Descreva o que é um exciton. A atração de um elétron por um buraco num semicondutor pode ser descrita pelo potencial coulombiano,
da forma:
U(r)=-e^24 pi varepsilon r
onde varepsilon é a permissividade dielétrica do meio material. O par elétron-buraco forma um “átomo” hidrogenóide, mas ao contário do átomo de hidrogênio, onde o núcleo é muito mais massivo do que o elétron, o elétron e a lacuna tem aproximadamente a mesma massa, devendo ser caracterizados pela massa reduzida
mr=mc^* mh^*mc^*+mh^*
Os níveis de energia, relativos ao mínimo da banda de condução ficam então quantizados na forma
En=Ec-mr e^42 hbar^2(4 pi varepsilon)^2 n^2, n=1,2,3 ldots
a) Encontre os níveis de energia excitônicos do silício, considerando-se a massa efetiva de elétrons e buracos no silício e também o varepsilon característico do mesmo.
b) Qual é a frequência do fóton absorvido para quebrar um par elétron-buraco cujo nível de energia é n=1.
c) Qual o raio aproximado da órbita do elétron em relação ao buraco, no nível n=1 ?
d) O que são excitons de Mott e excitons de Frenkel?

Passo 1

O problema pede para entender o conceito de exciton em semicondutores usando o modelo hidrogenoide com potencial Coulombiano, calcular os níveis de energia excitônicos no silício (parte a), achar a frequência do fóton para ionizar o par elétron-buraco no nível fundamental (parte b), estimar o raio da “órbita” do elétron em torno do buraco para n=1 (parte c) e, finalmente, explicar o que são excitons de Mott (ou Wannier–Mott) e excitons de Frenkel (parte d). Vamos usar a teoria de átomos de hidrogênio modificados pela massa reduzida e pela permissividade do material.

Passo 2

Primeiro determinamos a massa reduzida e a energia de ligação (binding energy) do exciton no silício. Tomando as massas efetivas típicas do silício: massa efetiva do elétron
mc^*=0,26,m0 e massa efetiva do buraco
mh^*=0,39,m0, a massa reduzida é
mr=mc^*,mh^*mc^*+mh^*=0.26,m0times0.39,m00.26,m0+0.39,m0approx0.156,m0
A permissividade relativa do silício é varepsilonrapprox11,7. A energia de ligação do exciton (equivalente a 13,6,eV no hidrogênio) cai segundo
Eb=13,6,eVtimesmrm0times1varepsilonr^2approx13,6times0.156/(11,7^2)approx0,0155,eV;(15,5,meV)

Passo 3

Os níveis excitônicos ficam então dados por
En=Ec-Ebn^2=Ec-15,5,meVn^2, n=1,2,3,dots
Logo para alguns níveis:
E1=Ec-15,5,meV, E2=Ec-3,9,meV, E3=Ec-1,7,meV, dots

Passo 4

Para quebrar (ionizar) o par no nível n=1 é preciso um fóton com energia hnu=Eb. Assim a frequência é
nu=Ebh=0,0155,eVtimes1,602times10^-19,J/eV6,626times10^-34,J,sapprox3,6times10^12,Hz

Passo 5

O raio excitônico para n=1 (análoga ao raio de Bohr) cresce em relação ao átomo de hidrogênio por um fator varepsilonr,m0/mr. Usando o raio de Bohr a0=0,053,nm temos
a1=a0,varepsilonr,m0mr=0,053times11,70,156,nmapprox4,nm

Passo 6

Excitons de Mott (ou Wannier–Mott) são excitons hidrogenoides em semicondutores ou materiais com alta permissividade: têm raio grande (vários nm), energia de ligação baixa (alguns meV) e ficam bem delocalizados. Excitons de Frenkel aparecem em isolantes moleculares ou cristais orgânicos: a lacuna e o elétron ficam confinados a um mesmo sítio atômico ou molécula, têm raio pequeno (~0,5–1 nm) e energia de ligação alta (~0,5–1 eV).

Resposta

a) Os níveis excitônicos do silício valem En=Ec-15,5,meV/n^2, logo E1=Ec-15,5,meV, E2=Ec-3,9,meV, etc.
b) Para ionizar o estado fundamental ( n=1) é necessária frequência nuapprox3,6times10^12,Hz.
c) O raio excitônico em n=1 é aproximadamente a1approx4,nm.
d) Excitons de Mott (ou Wannier–Mott): hidrogenoides, fracos e delocalizados (raio grande, energia de ligação baixa). Excitons de Frenkel: fortemente ligados e localizados (raio da ordem de uma célula, energia de ligação alta).

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