10 A cavidade conhecida como ressoador de Fabri-Perot e constituída de dois espelhos paralelos tem importantes aplicações em óptica, na obtenção do efeito laser. Para haver lasing (poder gerar um feixe de luz intenso e coerente) um dos requisitos é que o meio material entre os espelhos apresente ganho suficiente para compensar as perdas no comprimento de ondas de interesse e esse meio é dito ativo. Consideremos que o meio entre dois espelhos satisfaça esse primeiro requisito, ou seja, apresente ganho numa faixa de comprimentos de onda de interesse. Dessa forma a seleção da frequência (ou comprimento de onda) correta de laser deverá ser feita através do ajuste da distância d entre os espelhos. Entre os espelhos haverá a propagação de ondas eletromagnéticas em ambos os sentidos (onda propagante e onda refletida). Um dos espelhos é sempre um refletor perfeito R approx 1 enquanto o outro tem uma refletividade menor, cerca de R=0.7, para deixar uma parte da energia contida na cavidade passar para fora, constitindo o feixe de laser desejado. Para fins de análise, consideremos que o ganho do meio ativo compense exatamente as perdas condutivas no material e as perdas nos espelhos, de forma que possamos tratar ambos os espelhos como condutores perfeitos sigma infty, R=1. Adota-se um sistema de coordenadas em que o eixo z é o eixo de propagação das ondas entre os dois espelhos perfeitamente paralelos entre si. O primeiro espelho é o plano z=0 e o segundo espelho é o plano z=d e podemos representar o campo elétrico entre os espelhos na forma
E=Ei+Er=(Ei e^i(omega t-k z)+Er e^i(omega t+k z)) ax
onde Ei é a amplitude do campo propagante no sentido positivo do eixo z e Er do campo propagante no sentido oposto.
a) Lembrando que o campo elétrico tangencial à uma superfície condutora perfeita deve se anular sobre a superfície, encontre as relações entre Ei e Er e as condições sobre o número de onda k=2 pi / lambda para satisfazer às condições de contorno impostas. Uma vez encontrada a forma do campo elétrico, determine o campo magnético na cavidade.
b) Para uma junção pn laser semicondutor de índice de refração n=raizvarepsilonr=4 ativo na faixa de 632.00 nm com cavidade óptica de dimensão d=1 mm, determine quantos e quais são os comprimentos de onda excitados na cavidade assumindo que todos os comprimentos de onda possíveis entre o mínimo e o máximo da faixa ativa sejam excitados.

Passo 1

A gente tem uma cavidade de Fabry–Perot com dois espelhos perfeitos em z=0 e z=d, e o campo entre eles é superposição de onda viajando pra frente e pra trás. O objetivo é achar a relação entre as amplitudes, as condições sobre k e depois obter o campo magnético. Na parte (b) a gente vai usar índice de refração n=2 e faixa de λ₀ para achar quantos modos caem em d=1 mm.

Passo 2

O campo elétrico total é
Ex(z,t)=Ei e^i(omega t - kz)+Er e^i(omega t + kz)
Em z=0 o condutor perfeito exige E_x(0,t)=0, então
Ei e^iomega t+Er e^iomega t=0
Cancelando o fator comum e^{iωt} vem
Ei+Er=0Rightarrow Er=-Ei

Passo 3

Agora em z=d a condição é E_x(d,t)=0. Substituindo E_r=-E_i e usando kd desconhecido:
Ei(e^-ikd-e^ikd)=0
Para ter campo não-trivial precisa
sin(kd)=0Rightarrow kd=mpi,,;minZ
Logo
k=mpid

Passo 4

Substituindo E_r=-E_i de volta vemos que o campo elétrico fica uma onda estacionária:
Ex(z,t)=Ei e^iomega tl(e^-ikz-e^ikzr)=-2iEi e^iomega tsin(kz)
e o vetor é
E(z,t)=-2iEi e^iomega tsinl(kzr),ax

Passo 5

Para o campo magnético usamos a relação de onda plana no meio (impedância eta):
H=1eta(ktimes E)
Como k=az e Eparal<=lax, temos aztimesax=-ay. Separando onda incidente e refletida:
Hi=Eietae^i(omega t-kz),ay
Hr=-Eretae^i(omega t+kz),ay
Somando e usando Er=-Ei dá onda estacionária:
H(z,t)=2Eietae^iomega tcos(kz),ay

Passo 6

Para a parte (b), no meio dielétrico com índice n=raizvarepsilonr=2 o número de onda vale
k=2pi nlambda0
E a condição de modo é
kd=mpiRightarrow 2pi nlambda0d=mpi
Isolando lambda0:
lambda0=2ndm

Passo 7

A faixa ativa é
632.00 nm<=lambda0<=633.20 nm
Logo exige
632.00times10^-9m<=2ndm<=633.20times10^-9m
Com 2nd=2cdot2cdot1times10^-3=4times10^-3 m, obtemos:
m>=4times10^-3633.20times10^-9approx6317.8;Rightarrow;mmin=6318
m<=4times10^-3632.00times10^-9approx6329.1;Rightarrow;mmax=6329

Passo 8

Os modos permitidos são inteiros de m=6318 até m=6329, totalizando
6329-6318+1=12
E cada comprimento de onda de laser que sai é
lambda0,m=4times10^-3m,, m=6318,6319,dots,6329
em nm isso dá uma lista variando de ~633.16 nm até ~631.77 nm.

Passo 9

Segue a lista aproximada (em nm):
&m=6318:;633.16,, m=6319:;633.06,, m=6320:;632.96 &m=6321:;632.87,, m=6322:;632.77,, m=6323:;632.68 &m=6324:;632.58,, m=6325:;632.48,, m=6326:;632.39 &m=6327:;632.29,, m=6328:;632.19,, m=6329:;631.77

Resposta

São excitados 12 modos na cavidade, correspondentes aos comprimentos de onda lambda0,m=tfrac2ndm=tfrac4times10^-3m com m=6318,6319,dots,6329, variando aproximadamente de 633.16 nm até 631.77 nm.

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