12- \int\left(x^{2}+\operatorname{sen}(x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
12 - \int\bigl(x^{2} + \operatorname{sen}(x)\bigr)\,dx
Estamos em um problema de cálculo de primitivas (integrais indefinidas). Vamos usar regras básicas de integração: linearidade e as fórmulas das primitivas de x^n e de \sin(x).

Passo 2

Aplicamos a propriedade de linearidade da integral, isto é,
\int\bigl(x^{2} + \operatorname{sen}(x)\bigr)\,dx = \int x^{2}\,dx \;+\;\int \operatorname{sen}(x)\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int x^{2}\,dx usamos a regra do polinômio ( \int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1)), obtendo
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Para \displaystyle \int \operatorname{sen}(x)\,dx lembramos que a derivada de \cos(x) é -\sin(x). Logo
\int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 5

Somando as duas primitivas e incluindo a constante C, temos
\int\bigl(x^{2} + \operatorname{sen}(x)\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - \cos(x) + C.
Portanto,
12 - \int\bigl(x^{2}+\operatorname{sen}(x)\bigr)\,dx = 12 - \bigl(\tfrac{x^{3}}{3} - \cos(x) + C\bigr) = 12 - \frac{x^{3}}{3} + \cos(x) - C.
Como -C é outra constante arbitrária, chamamos de C' e escrevemos o resultado final como
-\frac{x^{3}}{3} + \cos(x) + C'.

Resposta

-\frac{x^{3}}{3} + \cos(x) + C.

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