23- \int_{0}^{5} x \cdot e^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{5} x \,e^{x^{2}} \,dx.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que a integranda é do tipo x vezes uma função de x^{2}, o que sugere usar a substituição u = x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2},
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Também adaptamos os limites de x para u:
quando x=0, u=0^{2}=0;
quando x=5, u=5^{2}=25.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{5} x\,e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{u=25} e^{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\,\int_{0}^{25} e^{u}\,du.
A antiderivada de e^{u} é e^{u}. Logo,

Passo 4

\frac{1}{2}\,\int_{0}^{25} e^{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{25} = \frac{1}{2}\bigl(e^{25}-e^{0}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(e^{25}-1\bigr).

Resposta

\frac{1}{2}\bigl(e^{25}-1\bigr)

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