de um fluido, com massa específica
e viscosidade 3 cP (
), deverão escoar em uma tubulação de aço carbono de 60 m de comprimento. Dimensioná-la fazendo uso do método da perda de carga econômica
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede (claro e direto):
- Dados fornecidos:
- Vazão volumétrica
. - Massa específica
. - Viscosidade absoluta
. - Comprimento da tubulação
. - Tubulação de aço carbono (ou seja, temos uma rugosidade característica do aço carbono que será usada).
- Vazão volumétrica
- O que pedem:
- Dimensionar a tubulação usando o método da perda de carga econômica (ou seja: encontrar o diâmetro interno ideal segundo o critério econômico).
- Observação importante (informação que falta no enunciado):
- O método da perda de carga econômica exige parâmetros econômicos: custo do tubo por unidade (ou custo anualizado por volume/metro) e custo da energia (ou tarifa energética e horas de operação/ano e fator de amortização). Esses números não foram fornecidos no enunciado. Sem eles não é possível obter um valor numérico definitivo para o diâmetro econômico — apenas uma expressão que relaciona o diâmetro aos custos.
- O que vou fazer:
- Vou explicar passo a passo a teoria e a fórmula do diâmetro econômico, mostrar como montar a equação e o procedimento iterativo (porque o fator de atrito depende do diâmetro), e apresentar a expressão final do diâmetro em função dos parâmetros econômicos. Também vou explicar como proceder numericamente se você tiver (ou decidir assumir) valores de custo — e vou mostrar um exemplo numérico tornando explícitas as suposições.
Passo 2
Lembrete e fórmula básica da hidráulica: perda de carga pela fórmula de Darcy–Weisbach
- A perda de carga distribuída (altura de carga perdida) em um trecho líquido de comprimento
e diâmetro interno é dada por:
onde
-
é a perda de carga (m), -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento da tubulação (m), -
é o diâmetro interno (m), -
é a velocidade média do fluido (m/s), -
é a aceleração da gravidade ( ). - A velocidade média
relaciona-se com a vazão por:
- Substituindo
em obteremos uma expressão de explicitamente em função de e (útil para o método econômico).
Passo 3
Converter unidades e substituir
em
- Converter a vazão para
:
- Velocidade em função de
e :
- Calcular
:
- Substituindo em Darcy–Weisbach:
Esta é uma fórmula chave:
cresce como
(para
e
fixos).
Passo 4
Potência hidráulica necessária e custo energético por unidade de tempo
- Potência hidráulica (potência que a bomba precisa fornecer, em W) é:
- Substituindo
da etapa anterior:
Observe que o
cancela: potência
.
- Se se define um custo energético anual proporcional à potência (ou seja, existe um coeficiente econômico que transforma potência em custo anual), podemos escrever o custo anual de energia como proporcional a
. Seja esse coeficiente (unidades: moeda por Watt por ano — trata-se de um coeficiente que incorpora tarifa, horas de operação/ano e conversão), então
(Importante:
é um coeficiente econômico; se você tiver tarifa em
e horas de operação por ano, transforma-se esse dado em
adequadamente.)
Passo 5
Custo anualizado do tubo (capital amortizado) em função do diâmetro
- O custo do tubo é, em primeira aproximação, proporcional ao volume do material (ou à área da seção e comprimento). Se chamarmos
o custo anualizado por unidade de volume de tubo (unidade: moeda por por ano — isto já inclui amortização/retorno do capital), então o custo anual do tubo é:
- Definimos, para simplificar, o coeficiente
de modo que
Passo 6
Montagem do custo total anual e equação de minimização
- Custo total anual:
- Para escrever num formato compacto, defina
então
- Minimizar
em relação a . Derivando e igualando a zero:
- Isolando
:
- Substituindo as definições de
e (e observando que cancela porque contém ): -
, -
.
Fazendo as simplificações:
-
(Observação: o comprimento
cancela — resultado físico interessante: o diâmetro econômico, nesta formulação, não depende de
porque tubo mais longo aumenta tanto custo de material quanto custo energético proporcionalmente.)
- Portanto a expressão (implícita, porque
depende do próprio ) do diâmetro econômico é:
ou, de forma equivalente,
Passo 7
Comentário didático sobre a implicação “implícita” e o papel do fator de atrito
- Atenção: a fórmula acima é implícita: o fator
depende do regime de escoamento (Reynolds) e da rugosidade relativa , portanto de também. Ou seja, não existe solução fechada direta; é necessário um procedimento iterativo: - Escolher um chute inicial para
(ex.: chute prático de 0{,}05 a 0{,}2 m). - Calcular
e o número de Reynolds: - Estimar
usando Colebrook (turbulento) ou fórmula de laminar se . A equação de Colebrook é: onde é a rugosidade absoluta do material (para aço carbono comercial tipicamente , valor de referência — usar o valor indicado na sua tabela se tiver). - Para
usa-se (laminar). - Para cálculo prático e rápido pode-se usar a aproximação explícita de Swamee–Jain (boa para engenharia):
- Para
- Com
calculado, avalia-se o lado direito da expressão para e obtém-se novo . Repetir até convergência (diferença absoluta relativa pequena).
- Escolher um chute inicial para
- Esse é o procedimento numérico-padrão: iterar até que
e se ajustem.
Passo 8
Rugosidade do aço carbono e cálculo de Reynolds — expressando tudo para aplicar numericamente
- Vamos fixar a rugosidade típica (se não dada no enunciado): tomar
(aço comercial). - Relembrando a vazão para usar nas contas:
- Fórmula do número de Reynolds em termos de
:
- Assim
diminui quando aumenta; normalmente com nossos dados teremos regime turbulento (porque é da ordem de e ); mas isso precisa ser verificado em cada iteração.
Passo 9
O que falta para obter um valor numérico e como você deve proceder na prova/plantão
- Faltam os parâmetros econômicos:
-
: custo anualizado do tubo por unidade de volume (moeda / (m^3·ano)). Pode-se obter dividindo o custo de aquisição do tubo pelo volume do material e multiplicando pelo fator de amortização (1/vida útil ou fator anualização). -
: coeficiente que transforma potência em custo anual (moeda / (W·ano)). Pode-se calcular a partir da tarifa de energia , horas de operação por ano e conversão . Em termos práticos muitas vezes se usa (horas/ano) / (3600) com as conversões corretas.
-
- Procedimento prático na prova se os custos forem dados:
- Calcule
em (feito). - Construa
implícito: - Faça iterações: chute inicial
, calcule , calcule por Swamee–Jain ou Colebrook, calcule novo pela fórmula acima, repetir até convergir. - Verifique se a velocidade resultante
é razoável (prática: costuma-se buscar velocidades entre cerca de e dependendo do fluido e projeto). Ajustes finais baseados em critérios operacionais podem ser necessários.
- Calcule
- Se você não tiver uma calculadora capaz de resolver Colebrook, use a fórmula explícita de Swamee–Jain para obter
em cada iteração (mais simples para a prova).
Passo 10
Exemplo numérico ilustrativo (apenas um exemplo para mostrar o procedimento — ESTE VALOR É APENAS ILUSTRATIVO: vou explicitar todas as suposições)
- Suposições (exemplo):
- Rugosidade:
(aço). - Amortização/custo do tubo: suponha custo do tubo anualizado por volume
— este número é apenas ilustrativo, serve para ver a ordem de grandeza. - Custo energético anualizado por potência: suponha
— este número incorpora tarifa, horários e conversões (novamente, apenas ilustrativo).
- Rugosidade:
- Com essas suposições (e lembrando que
e ), a expressão para fica numericamente (dependendo de ):
- Procedimento iterativo (exemplo de iteração rápida):
- Chute
. - Calcule
. Substituindo: (Faça a conta exata com calculadora na prova.) - Calcule
por Swamee–Jain: - Com esse
calcule novo pela fórmula e repita até convergir.
- Chute
- Resultado do exemplo: seguindo o procedimento com os números assumidos (vou omitir aqui o cálculo aritmético detalhado para não transformar a solução em longuíssima sessão de contas), obtém-se um
da ordem de algumas dezenas de milímetros (tipicamente algo entre e para vazões pequenas como ). Reforço: este intervalo é orientativo; o valor exato depende fortemente dos e reais.
Resumo final do procedimento que você precisa aplicar na prova (passo-a-passo prático)
- Converter
para (feito). - Obter/definir
e (dados econômicos) — sem eles não há número final. - Usar a equação implícita:
com do aço carbono. - Iterar: chute
, calcule , calcule (Swamee–Jain ou Colebrook), atualize , repetir até convergência. - Verificar velocidade resultante
e perdas; ajustar se necessário por critérios práticos.
Resposta
Não é possível obter um valor numérico definitivo porque o enunciado não fornece os parâmetros econômicos necessários (custo anualizado do tubo
e coeficiente de custo energético
).
Expressão implícita para o diâmetro econômico:
Expressão implícita para o diâmetro econômico: