Calcular o valor da altura manométrica (H) para os seguintes sistemas:
  • Fluido é água a 25^{\circ} \mathrm{C}
  • Velocidade média da água na tubulação =2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
  • Supor que a perda de carga total na tubulação para a vazão de bombeamento desejada é 1 w=10 \mathrm{~m}
  • Supor nível de água constante nos reservatórios
H=\frac{\Delta P}{\rho . g}+\Delta Z+\frac{\Delta V^{2}}{2 . g}+l w \quad \text { B.E.M. com bombeamento }

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei o valor de 5\\ \mathrm{m} da imagem fornecida).
  • O que se pede: calcular a altura manométrica H usando a expressão fornecida H=\frac{\Delta P}{\rho\cdot g}+\Delta Z+\frac{\Delta V^{2}}{2\cdot g}+l_{w}para os dois sentidos possíveis (de 1 para 2 — subida de nível — e de 2 para 1 — descida de nível).
  • Dados fornecidos:
    • Fluido: água a \,25^\circ\mathrm{C}. (peguei este dado do enunciado)
    • Densidade aproximada da água a \,25^\circ\mathrm{C}: \rho\approx997\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Aceleração da gravidade: g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Velocidade média da água na tubulação: \,V=2\\ \mathrm{m/s}. (dado)
    • Perda de carga total na tubulação (para a vazão desejada): \,l_{w}=10\\ \mathrm{m}. (dado)
    • Níveis de água constantes nos reservatórios (superfícies livres abertas à atmosfera). (dado)
    • Diferença de nível entre as superfícies livres: \Delta Z_{\text{(2-1)}}=+5\\ \mathrm{m} (peguei este valor da imagem; significa que o reservatório 2 está 5\\ \mathrm{m} acima do reservatório 1).
  • Observação: como as superfícies são livres e expostas à mesma pressão atmosférica, a diferença de pressão entre as superfícies livre é \Delta P=0 (vejo isso com mais detalhes adiante).

Passo 2

Explicação didática de cada termo da fórmula (o objetivo é aprender a aplicar na prova):
  • \displaystyle \frac{\Delta P}{\rho\cdot g} é a “carga de pressão” ou diferença de pressão convertida em metros de coluna de fluido. Aqui \Delta P=P_2-P_1, \rho é a massa específica do fluido e g a gravidade. Unidade: metros ( \mathrm{m}).
  • \Delta Z é a diferença de cota entre ponto 2 e ponto 1, isto é \Delta Z = z_2-z_1. Se o ponto 2 está acima do 1, \Delta Z>0 (a bomba precisa vencer essa subida); se o ponto 2 está abaixo do 1, \Delta Z<0 (a gravidade ajuda).
  • \displaystyle \frac{\Delta V^{2}}{2\cdot g} é a diferença de “carga cinética” ou cabeças de velocidade entre as seções: \Delta V^{2}=(V_2^2-V_1^2). Se as velocidades nas seções forem iguais, este termo é zero.
  • l_{w} é a perda de carga total por atrito e singularidades, já expressa em metros de coluna de fluido. Na prática é o que a bomba precisa recuperar além da diferença de nível e energia cinética.
  • Portanto, para aplicar a fórmula basta identificar cada um desses termos e somá-los com a convenção de sinais apresentada.

Passo 3

Avaliar o termo de pressão \displaystyle \frac{\Delta P}{\rho\cdot g}:
  • Como as superfícies dos reservatórios são livres e expostas à mesma pressão atmosférica, tem-se \Delta P = P_2-P_1 = 0.Logo \frac{\Delta P}{\rho\cdot g}=0.

Passo 4

Avaliar a diferença de carga cinética \displaystyle \frac{\Delta V^{2}}{2\cdot g}:
  • O enunciado dá a velocidade média na tubulação \,V=2\\ \mathrm{m/s}. Como estamos ligando dois reservatórios pela mesma tubulação (assumimos mesma seção de entrada e saída na ausência de indicação contrária), podemos tomar V_1=V_2=2\\ \mathrm{m/s}.
  • Então \Delta V^{2}=V_2^2-V_1^2=2^2-2^2=0e \frac{\Delta V^{2}}{2\cdot g}=0.
  • Observação numérica (apenas para referência): a cabeça de velocidade em cada extremidade seria \frac{V^2}{2\cdot g}=\frac{2^{2}}{2\cdot 9,81}=\frac{4}{19,62}\approx0,204\\ \mathrm{m},mas como é a mesma nos dois pontos a diferença é zero.

Passo 5

Avaliar \Delta Z nos dois sentidos de escoamento (peguei \,5\\ \mathrm{m} da imagem):
  • Para escoamento de 1 para 2 (subida): \displaystyle \Delta Z=z_2-z_1=+5\\ \mathrm{m}.
  • Para escoamento de 2 para 1 (descida): \displaystyle \Delta Z=z_1-z_2=-5\\ \mathrm{m} (ou, seguindo a mesma convenção \Delta Z=z_2-z_1=-5\\ \mathrm{m} se o ponto 2 for considerado o destino).

Passo 6

Montar a expressão com os termos avaliados. Em ambos os casos temos \displaystyle \frac{\Delta P}{\rho g}=0 e \displaystyle \frac{\Delta V^{2}}{2g}=0, portanto a fórmula simplifica para
H=\Delta Z + l_{w}.

Passo 7

Calcular numericamente H nos dois sentidos:
  • Para 1 \to 2 (subida): H_{1\to2}=\Delta Z + l_{w}=5\\ \mathrm{m} + 10\\ \mathrm{m}=15\\ \mathrm{m}.
  • Para 2 \to 1 (descida): H_{2\to1}=\Delta Z + l_{w}=(-5)\\ \mathrm{m} + 10\\ \mathrm{m}=5\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação curta: ao bombear de 1 para 2 é preciso vencer 5\\ \mathrm{m} de elevação mais 10\\ \mathrm{m} de perdas; ao bombear de 2 para 1 a gravidade ajuda em 5\\ \mathrm{m}, restando só 10-5=5\\ \mathrm{m} que a bomba precisa fornecer para vencer as perdas (se l_w fosse menor que |\Delta Z| a bomba poderia não ser necessária, ou até haveria energia disponível).

Passo 8

Cheque rápido e dica para prova:
  • Verifique sempre se os reservatórios são abertos à atmosfera (então \Delta P=0).
  • Verifique se as áreas (ou velocidades) nas seções consideradas são iguais; se forem, o termo cinético anula.
  • Lembre-se da convenção \Delta Z=z_2-z_1: positivo se o destino está acima.
  • Respira fundo — o procedimento é sempre o mesmo: identificar termos, avaliar sinais, somar.

Resposta

H_{1\to2}=15\\ \mathrm{m}
H_{2\to1}=5\\ \mathrm{m}

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