[12 pontos] Um teste de QI de uma pessoa aleatoriamente escolhida indica uma nota que é aproximadamente uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 15 . Qual é a probabilidade de que tal nota esteja entre 105 e 120 ?

Passo 1

O enunciado dá que a nota de QI é aproximadamente uma variável aleatória normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=15. A pergunta é: qual é a probabilidade de que a nota esteja entre 105 e 120. Ou seja, precisamos calcular
P(105<X<120).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • \mu=100
  • \sigma=15
  • queremos P(105<X<120).

Passo 2

Para trabalhar com a distribuição normal é muito útil padronizar a variável (transformá-la numa normal padrão). A normal padrão é a normal com média 0 e desvio padrão 1; sua função de distribuição acumulada é denotada por \Phi. A padronização transforma X em
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aplicando isso aos limites 105 e 120 calculamos os escores‑ z:
z_1=\frac{105-100}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}, \qquad z_2=\frac{120-100}{15}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}.

Passo 3

A probabilidade pedida pode ser escrita em termos da normal padrão:
P(105<X<120)=P\!\left(\frac{105-100}{15}<Z<\frac{120-100}{15}\right)=P\!\left(\tfrac{1}{3}<Z<\tfrac{4}{3}\right).
Usando a notação da função de distribuição da normal padrão \Phi, temos
P\!\left(\tfrac{1}{3}<Z<\tfrac{4}{3}\right)=\Phi\!\left(\tfrac{4}{3}\right)-\Phi\!\left(\tfrac{1}{3}\right).
Explicação curta do que é \Phi: para um número z, \Phi(z) é a probabilidade de a normal padrão ser menor ou igual a z, isto é \Phi(z)=P(Z\le z).

Passo 4

Agora precisamos dos valores de \Phi em z=\tfrac{1}{3} e z=\tfrac{4}{3}. Esses valores normalmente se obtêm em tabela da normal padrão ou numa calculadora/ software estatístico. Usando uma tabela e interpolação (ou uma calculadora), obtemos aproximações:
\Phi\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx 0,6306, \qquad \Phi\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx 0,9088.
Breve comentário sobre a interpolação: as tabelas dão valores para 0,33 e 0,34 (ou para 1,33 e 1,34); para 0,333 e 1,333 faz‑se uma interpolação linear simples entre os dois valores da tabela, o que dá os números acima. Se tiver calculadora ou software, pode obter diretamente \Phi(0,333\ldots) e \Phi(1,333\ldots).

Passo 5

Subtraindo os valores da função de distribuição padrão obtemos a probabilidade desejada:
P(105<X<120)=\Phi\!\left(\tfrac{4}{3}\right)-\Phi\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx 0,9088-0,6306=0,2782.
Convertendo para porcentagem, isso dá aproximadamente 27,82\%.

Resposta

\approx 0,2782 \;(27,82\%)

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