[12 pontos] Um teste de QI de uma pessoa aleatoriamente escolhida indica uma nota que é aproximadamente uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 15 . Qual é a probabilidade de que tal nota esteja entre 105 e 120 ?
Passo 1
O enunciado dá que a nota de QI é aproximadamente uma variável aleatória normal com média
e desvio padrão
. A pergunta é: qual é a probabilidade de que a nota esteja entre
e
. Ou seja, precisamos calcular
Informações importantes extraídas do enunciado:
-
-
- queremos
.
Passo 2
Para trabalhar com a distribuição normal é muito útil padronizar a variável (transformá-la numa normal padrão). A normal padrão é a normal com média
e desvio padrão
; sua função de distribuição acumulada é denotada por
. A padronização transforma
em
Aplicando isso aos limites
e
calculamos os escores‑
:
Passo 3
A probabilidade pedida pode ser escrita em termos da normal padrão:
Usando a notação da função de distribuição da normal padrão
, temos
Explicação curta do que é
: para um número
,
é a probabilidade de a normal padrão ser menor ou igual a
, isto é
.
Passo 4
Agora precisamos dos valores de
em
e
. Esses valores normalmente se obtêm em tabela da normal padrão ou numa calculadora/ software estatístico. Usando uma tabela e interpolação (ou uma calculadora), obtemos aproximações:
Breve comentário sobre a interpolação: as tabelas dão valores para
e
(ou para
e
); para
e
faz‑se uma interpolação linear simples entre os dois valores da tabela, o que dá os números acima. Se tiver calculadora ou software, pode obter diretamente
e
.
Passo 5
Subtraindo os valores da função de distribuição padrão obtemos a probabilidade desejada:
Convertendo para porcentagem, isso dá aproximadamente
.