[12 pontos] Considere a tabela a seguir que apresenta a distribuição de probabilidade da variável aleatória
:
0
1
2
3
4
0,1
0,15
0,3
0,25
0,2
Calcule a variância de
, sabendo que
.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
0,1 | 0,15 | 0,3 | 0,25 | 0,2 |
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de
e pede a variância de
. Informações fornecidas:
- Valores possíveis de
: . - Probabilidades correspondentes:
, , , , . - Foi fornecido o valor de
.
O que se pede:
- Calcular
.
Passo 2
Lembra: a esperança (valor esperado) de uma variável discreta
com possíveis valores
e probabilidades
é
Aqui vamos calcular
usando a tabela dada. Fazendo o produto valor × probabilidade para cada linha:
Somando todos esses termos obtemos
Interpretação rápida:
é a média ponderada dos valores de
pelas suas probabilidades — o “centro de massa” da distribuição.
Passo 3
Definição de variância: a variância mede a dispersão em torno da média e é dada por
Usa-se frequentemente a fórmula equivalente, que é mais prática quando já se conhece
. Vamos mostrar por que vale essa fórmula alternativa. Denote
. Então
Portanto a fórmula de uso prático é
Essa identidade é ótima quando
é dado (como no enunciado).
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula com os valores que temos:
-
(dado). -
(calculado no Passo 2).
Calculamos
:
Agora a variância:
Interpretação curta: a variância é
, que indica quão espalhados, em média, estão os quadrados das distâncias em relação à média
.