[12 pontos] Considere a tabela a seguir que apresenta a distribuição de probabilidade da variável aleatória X :
X 0 1 2 3 4
P\left(X=x_{i}\right) 0,1 0,15 0,3 0,25 0,2
Calcule a variância de X, sabendo que E\left(X^{2}\right)=6,8.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de X e pede a variância de X. Informações fornecidas:
  • Valores possíveis de X: 0,1,2,3,4.
  • Probabilidades correspondentes: P(X=0)=0,1, P(X=1)=0,15, P(X=2)=0,3, P(X=3)=0,25, P(X=4)=0,2.
  • Foi fornecido o valor de E\left(X^{2}\right)=6,8.
O que se pede:
  • Calcular \operatorname{Var}(X).

Passo 2

Lembra: a esperança (valor esperado) de uma variável discreta X com possíveis valores x_i e probabilidades p_i é
E(X)=\sum_{i} x_i p_i.
Aqui vamos calcular E(X) usando a tabela dada. Fazendo o produto valor × probabilidade para cada linha:
\begin{aligned} 0\cdot 0,1 &= 0,\\\\ 1\cdot 0,15 &= 0,15,\\\\ 2\cdot 0,3 &= 0,6,\\\\ 3\cdot 0,25 &= 0,75,\\\\ 4\cdot 0,2 &= 0,8. \end{aligned}
Somando todos esses termos obtemos
E(X)=0+0,15+0,6+0,75+0,8=2,3.
Interpretação rápida: E(X)=2,3 é a média ponderada dos valores de X pelas suas probabilidades — o “centro de massa” da distribuição.

Passo 3

Definição de variância: a variância mede a dispersão em torno da média e é dada por
\operatorname{Var}(X)=E\bigl((X-E(X))^{2}\bigr).
Usa-se frequentemente a fórmula equivalente, que é mais prática quando já se conhece E(X^2). Vamos mostrar por que vale essa fórmula alternativa. Denote \mu=E(X). Então
\begin{aligned} \operatorname{Var}(X)&=E\bigl((X-\mu)^2\bigr)=E(X^2-2\mu X+\mu^2)\\\ &=E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2 \quad\text{(linearidade da esperança)}\\\ &=E(X^2)-2\mu^2+\mu^2\\\ &=E(X^2)-\mu^2. \end{aligned}ç
Portanto a fórmula de uso prático é
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2.
Essa identidade é ótima quando E(X^2) é dado (como no enunciado).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com os valores que temos:
  • E(X^2)=6,8 (dado).
  • E(X)=2,3 (calculado no Passo 2).
Calculamos \bigl(E(X)\bigr)^2:
\bigl(E(X)\bigr)^2=(2,3)^2=2,3\times2,3=5,29.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=6,8-5,29=1,51.
Interpretação curta: a variância é 1,51, que indica quão espalhados, em média, estão os quadrados das distâncias em relação à média 2,3.

Resposta

1,51

Exercícios relacionados