12 - Prove que
então ou
ou
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá (lista clara).
- Dado um escalar
e um vetor tal que . - A afirmação a provar é: "ou
ou ". - Informação implícita que vamos usar:
pertence ao corpo (campo) dos escalares e pertence a um espaço vetorial sobre esse corpo (por exemplo, no caso comum e ).
Passo 2
Conceitos e propriedades que precisamos entender (explicação didática).
- Campo (corpo): é um conjunto onde existem operações de adição e multiplicação com as propriedades usuais (comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro
para adição e para multiplicação, existência de inverso aditivo para todo elemento, e existência de inverso multiplicativo para todo elemento diferente de ). Em particular, se então existe tal que . - Espaço vetorial: é um conjunto de vetores com soma vetorial e multiplicação por escalar que satisfazem certas leis (distributividade, associatividade entre escalar e vetor, existência de vetor nulo
, etc.). Em particular vale a associatividade scalar–vetor e . - Observação útil (que às vezes aparece em provas): para qualquer escalar
tem-se (multiplicar o vetor nulo por qualquer escalar dá o vetor nulo). Isso é consequência das propriedades do espaço vetorial, e pode ser demonstrado se necessário.
Passo 3
Estratégia do método (por que multiplicar pelo inverso é natural).
- Se
a conclusão já é verdadeira. O caso interessante é quando . - Se
e os escalares formam um campo, então tem inverso multiplicativo . Multiplicar a igualdade por é uma operação permitida e útil porque, pela associatividade, . Assim essa operação tende a “cancelar” o e revelar .
Passo 4
Prova formal passo a passo (caso
).
- Suponha
e suponha que . - Como
e os escalares formam um campo, existe tal que . - Multiplique a igualdade
à esquerda por . Pela propriedade de associatividade da multiplicação escalar com vetor:
- Pelo outro lado, multiplicar o vetor nulo por qualquer escalar dá o vetor nulo, então
- Assim, a aplicação de
à igualdade inicial dá
- Conclusão deste caso: se
então necessariamente .
Passo 5
Juntando os casos para concluir a prova.
- Temos duas possibilidades: ou
(já satisfaz a afirmação "ou ou "), ou em que mostramos que necessariamente . Portanto, em todos os casos vale:
- Essa é exatamente a propriedade pedida.
Passo 6
Observações, exemplos e uma advertência importante (pra prova e entendimento).
- Exemplo concreto em
: se , como (em o inverso existe), multiplicando por obtemos . - Advertência: a prova usou crucialmente que os escalares formam um campo (ou seja, que não existem “divisores de zero” entre os escalares). Em estruturas mais gerais (módulos sobre anéis que têm divisores de zero) a propriedade pode falhar: por exemplo, em
(o anel dos inteiros módulo ) tem-se embora nem nem sejam em . Em módulos sobre tais anéis, pode haver com e . Portanto é importante lembrar o contexto “espaço vetorial sobre um campo”.