Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares prove que:
Passo 1
O que o problema pede: provar que, para todo escalar
e todo vetor
, vale
Informações / propriedades que vamos usar (essas são axiomas da multiplicação por escalar e da soma de vetores):
- Para quaisquer escalares
e vetor vale a distributividade escalar: - Existe o escalar neutro
tal que . - Existe o vetor nulo
(identidade aditiva) tal que para todo vetor . - Para todo vetor
existe o inverso aditivo tal que . - Vamos usar também a unicidade do inverso aditivo (se dois vetores somados a um mesmo vetor dão
, então esses dois vetores são iguais).
Não vamos assumir nada além dessas propriedades; a prova consistirá em mostrar que
é o inverso aditivo de
, portanto igual a
.
Passo 2
Calcular a soma
e usar a distributividade escalar sobre a soma de escalares. Aplicando a propriedade:
Passo 3
Simplificar o escalar na expressão: por definição de inverso aditivo no corpo dos escalares tem-se
. Substituindo:
Agora provamos que
. Começamos observando que
, então pela distributividade
Chame
. Então
. Somando o inverso aditivo de
em ambos os lados obtemos
ou seja,
Passo 4
Combinando os resultados dos passos anteriores temos
Isso mostra que
é um vetor cujo somatório com
é o vetor nulo; em outras palavras,
é um inverso aditivo de
.
Passo 5
Afirmar a unicidade do inverso aditivo (pequena prova): se
e
satisfazem
e
para algum
, então
Como
substitui-se
por
dentro da expressão apropriada para obter
. Assim, o inverso aditivo de um vetor é único.
Passo 6
Pelo Passo 4 sabemos que
é um inverso aditivo de
. Pelo Passo 5 (unicidade) o inverso aditivo de
é precisamente
. Logo
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a intuição (opcional): tome
e
. Então
que coincide com a igualdade provada.