Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares prove que:
(-\alpha) \mathbf{v}=-(\alpha \mathbf{v})

Passo 1

O que o problema pede: provar que, para todo escalar \alpha e todo vetor \mathbf{v}, vale
(-\alpha)\mathbf{v}=-(\alpha\mathbf{v}).
Informações / propriedades que vamos usar (essas são axiomas da multiplicação por escalar e da soma de vetores):
  • Para quaisquer escalares a,b e vetor \mathbf{v} vale a distributividade escalar: (a+b)\mathbf{v}=a\mathbf{v}+b\mathbf{v}.
  • Existe o escalar neutro 0 tal que a+(-a)=0.
  • Existe o vetor nulo \mathbf{0} (identidade aditiva) tal que \mathbf{w}+\mathbf{0}=\mathbf{w} para todo vetor \mathbf{w}.
  • Para todo vetor \mathbf{w} existe o inverso aditivo -\mathbf{w} tal que \mathbf{w}+(-\mathbf{w})=\mathbf{0}.
  • Vamos usar também a unicidade do inverso aditivo (se dois vetores somados a um mesmo vetor dão \mathbf{0}, então esses dois vetores são iguais).
Não vamos assumir nada além dessas propriedades; a prova consistirá em mostrar que (-\alpha)\mathbf{v} é o inverso aditivo de \alpha\mathbf{v}, portanto igual a -(\alpha\mathbf{v}).

Passo 2

Calcular a soma (-\alpha)\mathbf{v}+(\alpha\mathbf{v}) e usar a distributividade escalar sobre a soma de escalares. Aplicando a propriedade:
(-\alpha)\mathbf{v}+(\alpha\mathbf{v}) = \big((-\alpha)+\alpha\big)\mathbf{v}.

Passo 3

Simplificar o escalar na expressão: por definição de inverso aditivo no corpo dos escalares tem-se (-\alpha)+\alpha=0. Substituindo:
\big((-\alpha)+\alpha\big)\mathbf{v}=0\mathbf{v}.
Agora provamos que 0\mathbf{v}=\mathbf{0}. Começamos observando que 0=0+0, então pela distributividade
0\mathbf{v}=(0+0)\mathbf{v}=0\mathbf{v}+0\mathbf{v}.
Chame \mathbf{w}=0\mathbf{v}. Então \mathbf{w}=\mathbf{w}+\mathbf{w}. Somando o inverso aditivo de \mathbf{w} em ambos os lados obtemos
\mathbf{0}=\mathbf{w},
ou seja,
0\mathbf{v}=\mathbf{0}.

Passo 4

Combinando os resultados dos passos anteriores temos
(-\alpha)\mathbf{v}+(\alpha\mathbf{v})=\mathbf{0}.
Isso mostra que (-\alpha)\mathbf{v} é um vetor cujo somatório com \alpha\mathbf{v} é o vetor nulo; em outras palavras, (-\alpha)\mathbf{v} é um inverso aditivo de \alpha\mathbf{v}.

Passo 5

Afirmar a unicidade do inverso aditivo (pequena prova): se \mathbf{x} e \mathbf{y} satisfazem \mathbf{x}+\mathbf{z}=\mathbf{0} e \mathbf{y}+\mathbf{z}=\mathbf{0} para algum \mathbf{z}, então
\mathbf{x}=\mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})=(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}.
Como \mathbf{x}+\mathbf{z}=\mathbf{0} substitui-se \mathbf{x}+\mathbf{z} por \mathbf{0} dentro da expressão apropriada para obter \mathbf{x}=\mathbf{y}. Assim, o inverso aditivo de um vetor é único.

Passo 6

Pelo Passo 4 sabemos que (-\alpha)\mathbf{v} é um inverso aditivo de \alpha\mathbf{v}. Pelo Passo 5 (unicidade) o inverso aditivo de \alpha\mathbf{v} é precisamente -(\alpha\mathbf{v}). Logo
(-\alpha)\mathbf{v}=-(\alpha\mathbf{v}).

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a intuição (opcional): tome \alpha=2 e \mathbf{v}=(1,3). Então
(-2)\mathbf{v}=(-2, -6), \qquad -(2\mathbf{v})=-(2,6)=(-2,-6),
que coincide com a igualdade provada.

Resposta

(- \alpha)\mathbf{v}=-(\alpha\mathbf{v})

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