12 Quantas são as soluções inteiras positivas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=17

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras positivas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=17
Isso é um problema de combinatória que usa o método de “barras e estrelas” (stars and bars) para variables positivas.

Passo 2

Para aplicar o método de barras e estrelas, fazemos a mudança de variável
y_{i}=x_{i}-1,\quad i=1,\dots,5,
de modo que cada y_{i} seja um inteiro não negativo. Então
y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5} =(x_{1}-1)+\cdots+(x_{5}-1) =17-5=12.

Passo 3

Contamos o número de soluções não negativas da equação
y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}=12.
Pela fórmula de barras e estrelas, o número de soluções é
\binom{12 + 5 - 1}{5 - 1} =\binom{16}{4}.

Passo 4

Calculamos
\binom{16}{4} =\frac{16\cdot15\cdot14\cdot13}{4\cdot3\cdot2\cdot1} =1820.

Resposta

1820

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