Calcule o número de soluções inteiras positivas de:
(c) x+y+z=20

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções em inteiros positivos da equação
x+y+z=20
onde x, y e z são números inteiros estritamente maiores que zero. O conteúdo principal aqui é o método de “estrelas e barras” para contagem de soluções inteiras positivas.

Passo 2

Para distribuir n unidades entre k variáveis inteiras positivas, usamos a fórmula de combinação
\binom{n-1}{k-1},
pois colocamos n “estrelas” e usamos k-1 “barras” para separar as partes, e há n-1 posições possíveis para escolher onde vão as barras.

Passo 3

No nosso caso, n=20 (a soma total) e k=3 (as variáveis x,y,z). Logo, o número de soluções em inteiros positivos é
\binom{20-1}{3-1} = \binom{19}{2}.

Passo 4

Basta calcular
\binom{19}{2} = \frac{19 \cdot 18}{2} = 171.

Resposta

171

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