12.7 Seja W a porcentagem em massa da maltose em uma solução aquosa. Os seguintes abaixamentos do ponto de congelamento são observados para soluções de maltose(aq):
W 3,00 6,00 9,00 12,00
\Delta T_{f} /{ }^{\circ} \mathrm{C} -0,169 -0,352 -0,550 -0,765
(a) Mostre que a equação \Delta T_{f}=-k_{f} m_{\mathrm{B}} M_{\mathrm{B}}=-k_{f} w_{\mathrm{B}} /\left(\Delta T_{f} w_{\mathrm{A}}\right), onde w_{\mathrm{B}} e w_{\mathrm{A}} são as massas de B e A na solução. (b) Represente graficamente as massas moleculares calculadas em função de W e extrapole para concentração zero para determinar a verdadeira massa molecular.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei os números da tabela do enunciado):
  • Percentuais em massa W da maltose: W=3{,}00\%, 6{,}00\%, 9{,}00\%, 12{,}00\%.
  • Correspondentes abaixamentos do ponto de congelamento: \Delta T_{f}=-0{,}169^\circ\mathrm{C}, -0{,}352^\circ\mathrm{C}, -0{,}550^\circ\mathrm{C}, -0{,}765^\circ\mathrm{C}.
  • As massas de soluto e solvente na solução serão representadas por w_{\mathrm{B}} (massa de B, a maltose) e w_{\mathrm{A}} (massa do solvente, água). Vou tomar w_{\mathrm{A}} e w_{\mathrm{B}} em quilogramas (kg) para a consistência com molalidade em mol·kg^{-1}.
    As perguntas são:
    (a) mostrar algébrica e formalmente que, a partir de \Delta T_{f}=-k_{f} m_{\mathrm{B}}, segue-se \displaystyle M_{\mathrm{B}}=-\frac{k_{f}\,w_{\mathrm{B}}}{\Delta T_{f}\,w_{\mathrm{A}}};
    (b) calcular massas molares aparentes para cada W, representar graficamente essas massas em função de W e extrapolar para W\to0 para obter a massa molecular verdadeira.

Passo 2

Definições e unidades (aula curta sobre o que estou usando):
  • Molalidade do soluto m_{\mathrm{B}} é o número de mols de soluto por quilograma de solvente. Em fórmula:
m_{\mathrm{B}}=\frac{n_{\mathrm{B}}}{\text{massa do solvente (kg)}}.
  • O número de mols de B é n_{\mathrm{B}}=\dfrac{w_{\mathrm{B}}}{M_{\mathrm{B}}}, se w_{\mathrm{B}} está em kg e M_{\mathrm{B}} em kg·mol^{-1}. (Se usar w_{\mathrm{B}} em g, haveria fator 1000; por isso escolhi kg para simplificar.)
  • Assim, escrevendo explicitamente \text{massa do solvente}=w_{\mathrm{A}} (em kg),
m_{\mathrm{B}}=\frac{w_{\mathrm{B}}/M_{\mathrm{B}}}{w_{\mathrm{A}}}=\frac{w_{\mathrm{B}}}{M_{\mathrm{B}}\,w_{\mathrm{A}}}.
Esta fórmula é fundamental: molalidade = (massa de soluto / massa molar) dividido pela massa do solvente (kg).

Passo 3

Agora uso a relação experimental indicada no enunciado:
\Delta T_{f}=-k_{f}\,m_{\mathrm{B}}.
Substituo a expressão de m_{\mathrm{B}} do passo anterior:
\Delta T_{f}=-k_{f}\,\frac{w_{\mathrm{B}}}{M_{\mathrm{B}}\,w_{\mathrm{A}}}.
Agora isolo M_{\mathrm{B}}. Multiplico ambos os lados por M_{\mathrm{B}} w_{\mathrm{A}}:
\Delta T_{f}\,M_{\mathrm{B}}\,w_{\mathrm{A}}=-k_{f}\,w_{\mathrm{B}}.
Finalmente,
M_{\mathrm{B}}=-\frac{k_{f}\,w_{\mathrm{B}}}{\Delta T_{f}\,w_{\mathrm{A}}}.
Isto é exatamente a expressão pedida. Observação sobre sinais: \Delta T_{f} é negativo (queda do ponto de congelamento), k_{f} é positivo; o quociente dá M_{\mathrm{B}}>0 como deve ser.

Passo 4

Preparando os cálculos numéricos para (b). Escolho uma base de cálculo conveniente: 1{,}000\\ \mathrm{kg} (ou simplesmente 1{,}0\\ \mathrm{kg}) de solução total. Assim, para um dado W\% (percentual em massa de B),
w_{\mathrm{B}}=\frac{W}{100}\times 1{,}0\\ \mathrm{kg}=\frac{W}{100}\\ \mathrm{kg}, \qquad w_{\mathrm{A}}=1{,}0-\frac{W}{100}\\ \mathrm{kg}.
Também uso o valor do constante crioscópica da água (solvente aquoso):
k_{f}=1{,}86\\ ^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Agora aplico a fórmula do passo 3 para cada ponto da tabela. A unidade obtida para M_{\mathrm{B}} será kg·mol^{-1}; multiplico por 1000 para obter g·mol^{-1}.

Passo 5

Cálculo para W=3{,}00\%:
w_{\mathrm{B}}=\frac{3{,}00}{100}=0{,}03\\ \mathrm{kg},\qquad w_{\mathrm{A}}=1{,}0-0{,}03=0{,}97\\ \mathrm{kg}.
Substituindo em
M_{\mathrm{B}}=-\frac{k_{f}\,w_{\mathrm{B}}}{\Delta T_{f}\,w_{\mathrm{A}}},
temos
M_{\mathrm{B}}=-\frac{1{,}86\times0{,}03}{(-0{,}169)\times0{,}97} =\frac{1{,}86\times0{,}03}{0{,}169\times0{,}97}.
Calcule passo a passo:
1{,}86\times0{,}03=0{,}0558, \qquad 0{,}169\times0{,}97=0{,}16393,
M_{\mathrm{B}}=\frac{0{,}0558}{0{,}16393}=0{,}3403\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.
Convertendo para g·mol^{-1}:
M_{\mathrm{B}}=340{,}3\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Passo 6

Cálculo para W=6{,}00\%:
w_{\mathrm{B}}=0{,}06\\ \mathrm{kg},\qquad w_{\mathrm{A}}=0{,}94\\ \mathrm{kg},\qquad \Delta T_{f}=-0{,}352^\circ\mathrm{C}.
M_{\mathrm{B}}=-\frac{1{,}86\times0{,}06}{(-0{,}352)\times0{,}94} =\frac{1{,}86\times0{,}06}{0{,}352\times0{,}94}.
Calcule:
1{,}86\times0{,}06=0{,}1116, \qquad 0{,}352\times0{,}94=0{,}33088,
M_{\mathrm{B}}=\frac{0{,}1116}{0{,}33088}=0{,}3373\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}=337{,}3\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Passo 7

Cálculo para W=9{,}00\%:
w_{\mathrm{B}}=0{,}09\\ \mathrm{kg},\qquad w_{\mathrm{A}}=0{,}91\\ \mathrm{kg},\qquad \Delta T_{f}=-0{,}550^\circ\mathrm{C}.
1{,}86\times0{,}09=0{,}1674,\qquad 0{,}550\times0{,}91=0{,}5005,
M_{\mathrm{B}}=\frac{0{,}1674}{0{,}5005}=0{,}3346\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}=334{,}6\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Passo 8

Cálculo para W=12{,}00\%:
w_{\mathrm{B}}=0{,}12\\ \mathrm{kg},\qquad w_{\mathrm{A}}=0{,}88\\ \mathrm{kg},\qquad \Delta T_{f}=-0{,}765^\circ\mathrm{C}.
1{,}86\times0{,}12=0{,}2232,\qquad 0{,}765\times0{,}88=0{,}6732,
M_{\mathrm{B}}=\frac{0{,}2232}{0{,}6732}=0{,}3316\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}=331{,}6\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Passo 9

Resumo dos valores obtidos (massa molar aparente em função de W):
  • W=3{,}00\%\Rightarrow M_{\mathrm{B}}=340{,}3\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • W=6{,}00\%\Rightarrow M_{\mathrm{B}}=337{,}3\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • W=9{,}00\%\Rightarrow M_{\mathrm{B}}=334{,}6\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • W=12{,}00\%\Rightarrow M_{\mathrm{B}}=331{,}6\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Representação gráfica: plote M_{\mathrm{B}} (eixo vertical) versus W (eixo horizontal). Os pontos mostram uma queda quase linear de M_{\mathrm{B}} com W. Para obter a massa molecular verdadeira (valor em \emph{diluído ilimitado}), extrapola-se a reta ajustada até W=0.
Faço uma extrapolação linear simples tomando a reta que passa aproximadamente pelos pontos; o declive (slope) pode ser calculado com os extremos:
\text{slope}= \frac{M(12)-M(3)}{12-3}=\frac{331{,}6-340{,}3}{9}=\frac{-8{,}7}{9}=-0{,}9667\\ \frac{\mathrm{g\;mol^{-1}}}{\%}.
O intercepto em W=0 é
M(0)=M(3)-\text{slope}\times3=340{,}3-(-0{,}9667)\times3=340{,}3+2{,}900=343{,}2\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Verificação rápida com outro ponto dá valor muito próximo (consistência): usando W=12\%, M(0)=331{,}6-(-0{,}9667)\times12=331{,}6+11{,}600=343{,}2\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Portanto a extrapolação linear para W\to0 fornece a massa molecular verdadeira aproximada M_{\mathrm{B}}\approx343{,}2\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Passo 10

Interpretação final e incentivo curto: o procedimento mostrou passo a passo como ligar o abaixamento crioscópico à molaridade e extrair a massa molar. Os valores experimentais em concentrações maiores dão massas aparentes um pouco menores (efeitos de interação), por isso a necessidade de extrapolar para concentração nula. O valor obtido por extrapolação está muito próximo da massa molar conhecida da maltose (~ 342{,}3\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}), então os cálculos fizeram sentido.

Resposta

M_{\mathrm{B}}=-\dfrac{k_{f}\,w_{\mathrm{B}}}{\Delta T_{f}\,w_{\mathrm{A}}}.
M_{\mathrm{B}}(W\to0)\approx343{,}2\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

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