12.7 Seja
a porcentagem em massa da maltose em uma solução aquosa. Os seguintes abaixamentos do ponto de congelamento são observados para soluções de maltose(aq):
3,00
6,00
9,00
12,00
(a) Mostre que a equação
dá
, onde
e
são as massas de B e A na solução. (b) Represente graficamente as massas moleculares calculadas em função de
e extrapole para concentração zero para determinar a verdadeira massa molecular.
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3,00 | 6,00 | 9,00 | 12,00 |
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Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei os números da tabela do enunciado):
- Percentuais em massa
da maltose: , , , . - Correspondentes abaixamentos do ponto de congelamento:
, , , . - As massas de soluto e solvente na solução serão representadas por
(massa de B, a maltose) e (massa do solvente, água). Vou tomar e em quilogramas (kg) para a consistência com molalidade em mol·kg^{-1}.
As perguntas são:
(a) mostrar algébrica e formalmente que, a partir de, segue-se ;
(b) calcular massas molares aparentes para cada, representar graficamente essas massas em função de e extrapolar para para obter a massa molecular verdadeira.
Passo 2
Definições e unidades (aula curta sobre o que estou usando):
- Molalidade do soluto
é o número de mols de soluto por quilograma de solvente. Em fórmula:
- O número de mols de B é
, se está em kg e em kg·mol^{-1}. (Se usar em g, haveria fator 1000; por isso escolhi kg para simplificar.) - Assim, escrevendo explicitamente
(em kg),
Esta fórmula é fundamental: molalidade = (massa de soluto / massa molar) dividido pela massa do solvente (kg).
Passo 3
Agora uso a relação experimental indicada no enunciado:
Substituo a expressão de
do passo anterior:
Agora isolo
. Multiplico ambos os lados por
:
Finalmente,
Isto é exatamente a expressão pedida. Observação sobre sinais:
é negativo (queda do ponto de congelamento),
é positivo; o quociente dá
como deve ser.
Passo 4
Preparando os cálculos numéricos para (b). Escolho uma base de cálculo conveniente:
(ou simplesmente
) de solução total. Assim, para um dado
(percentual em massa de B),
Também uso o valor do constante crioscópica da água (solvente aquoso):
Agora aplico a fórmula do passo 3 para cada ponto da tabela. A unidade obtida para
será kg·mol^{-1}; multiplico por
para obter g·mol^{-1}.
Passo 5
Cálculo para
:
Substituindo em
temos
Calcule passo a passo:
Convertendo para g·mol^{-1}:
Passo 6
Cálculo para
:
Calcule:
Passo 7
Cálculo para
:
Passo 8
Cálculo para
:
Passo 9
Resumo dos valores obtidos (massa molar aparente em função de
):
-
. -
. -
. -
.
Representação gráfica: plote
(eixo vertical) versus
(eixo horizontal). Os pontos mostram uma queda quase linear de
com
. Para obter a massa molecular verdadeira (valor em \emph{diluído ilimitado}), extrapola-se a reta ajustada até
.
Faço uma extrapolação linear simples tomando a reta que passa aproximadamente pelos pontos; o declive (slope) pode ser calculado com os extremos:
O intercepto em
é
Verificação rápida com outro ponto dá valor muito próximo (consistência): usando
,
.
Portanto a extrapolação linear para
fornece a massa molecular verdadeira aproximada
.
Passo 10
Interpretação final e incentivo curto: o procedimento mostrou passo a passo como ligar o abaixamento crioscópico à molaridade e extrair a massa molar. Os valores experimentais em concentrações maiores dão massas aparentes um pouco menores (efeitos de interação), por isso a necessidade de extrapolar para concentração nula. O valor obtido por extrapolação está muito próximo da massa molar conhecida da maltose (~
), então os cálculos fizeram sentido.