12.9 Quando 542 mg do não eletrólito Z são dissolvidos em uma certa massa do solvente A , o ponto de congelamento de A diminui em 1,65 vez o abaixamento observado quando 679 mg de \mathrm{CO}\left(\mathrm{NH}_{2}\right)_{2} são dissolvidos na mesma massa de A. Determine a massa molecular de Z.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Massa de Z dissolvida: 542\\ \text{mg}.
  • Massa de ureia \mathrm{CO(NH_2)_2} dissolvida: 679\\ \text{mg}.
  • Ao dissolver 542\\ \text{mg} de Z no mesmo solvente e na mesma massa de solvente, o abaixamento do ponto de congelamento de A é 1{,}65 vezes o abaixamento observado quando se dissolvem 679\\ \text{mg} de ureia.
  • Quer-se determinar a massa molecular (massa molar) de Z.
O que o problema pede: calcular a massa molar de Z (em \text{g mol}^{-1}) usando a relação entre os abaixamentos de temperatura.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar — explicação didática e simples:
  • O abaixamento do ponto de congelamento \Delta T_f é uma propriedade coligativa: depende apenas do número de partículas de soluto por massa de solvente, não da natureza química do soluto (para solutos não iônicos, sem dissociação).
  • Para um soluto que não se ioniza, vale
\Delta T_f = K_f \cdot m,
onde:
  • \Delta T_f é o abaixamento do ponto de congelamento (em °C),
  • K_f é a constante crioscópica do solvente (em °C·kg·mol^{-1}), que depende só do solvente,
  • m é a molalidade do soluto (em mol·kg^{-1}), definida por
m = \frac{n_{\text{soluto}}}{\text{massa do solvente (kg)}} = \frac{\text{massa do soluto (g)}/M}{\text{massa do solvente (kg)}}.
  • Como aqui usamos a mesma massa de solvente e o mesmo solvente A, tanto K_f quanto a massa do solvente são constantes nas duas situações. Portanto \Delta T_f é proporcional ao número de mols do soluto dissolvido, isto é, proporcional a \dfrac{\text{massa do soluto}}{M}.

Passo 3

Montando a relação entre os dois casos (Z e ureia):
  • Seja M_Z a massa molar de Z (o que queremos).
  • Seja M_U a massa molar da ureia \mathrm{CO(NH_2)_2}.
    Pela proporcionalidade entre \Delta T_f e \dfrac{\text{massa}}{M}, temos
\frac{\Delta T_f(\text{Z})}{\Delta T_f(\text{ureia})}=\frac{\dfrac{542\\ \text{mg}}{M_Z}}{\dfrac{679\\ \text{mg}}{M_U}}.
O enunciado diz que \Delta T_f(\text{Z}) = 1{,}65\\ \Delta T_f(\text{ureia}). Substituindo:
1{,}65 = \frac{\dfrac{542\\ \text{mg}}{M_Z}}{\dfrac{679\\ \text{mg}}{M_U}}.
As unidades de massa ( \text{mg}) cancelam, então não é necessário converter para gramas (mas poderia-se converter sem alterar a relação).

Passo 4

Determinar M_U (massa molar da ureia) — passo pequeno de química:
  • Usando massas atômicas inteiras aproximadas: C=12, O=16, N=14, H=1.
  • A fórmula \mathrm{CO(NH_2)_2} contém 1 átomo de C, 1 de O, 2 de N e 4 de H. Logo
M_U = 12 + 16 + 2\cdot 14 + 4\cdot 1 = 12 + 16 + 28 + 4 = 60\\ \text{g mol}^{-1}.

Passo 5

Isolando M_Z e calculando numericamente:
  • A equação do Passo 3 reescreve-se para M_Z:
1{,}65 = \frac{542}{M_Z}\cdot\frac{M_U}{679} \quad\Longrightarrow\quad M_Z = \frac{542\cdot M_U}{1{,}65\cdot 679}.
  • Substituindo M_U=60\\ \text{g mol}^{-1}:
M_Z = \frac{542\cdot 60}{1{,}65\cdot 679}.
  • Agora a conta (mostrando passo a passo):
542\cdot 60 = 32520,
1{,}65\cdot 679 = 1120{,}35,
M_Z = \frac{32520}{1120{,}35}\approx 29{,}03\\ \text{g mol}^{-1}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida:
  • O valor M_Z\approx 29{,}0\\ \text{g mol}^{-1} é razoável; obtivemos-no usando a hipótese natural de que ambos os solutos são não eletrólitos (i = 1). Se o soluto Z dissociasse em íons, seria necessário usar o fator de Van’t Hoff i, mas o enunciado fala em "não eletrólito Z", então i = 1 e o procedimento está correto.
  • Portanto a massa molar procurada é aproximadamente 29{,}03\\ \text{g mol}^{-1}.

Resposta

29{,}03\\ \text{g mol}^{-1}

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