12^{\underline{\mathrm{a}}} Questão: Calcule a impedancia de saida ( \mathrm{Z}_{\mathrm{T}} ) para um circuito RC serie que opera numa frequencia de 8 KHz e tem C=0,005 \mu \mathrm{~F} e R=10 M \Omega.

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a impedância de saída Z_{T} de um circuito série R\!-\!C que opera em frequência f=8\\ \mathrm{kHz}, com C=0,005\\ \mu\mathrm{F} e R=10\\ \mathrm{M}\Omega.
Dados fornecidos:
f = 8\\ \mathrm{kHz},\qquad C = 0,005\\ \mu\mathrm{F},\qquad R = 10\\ \mathrm{M}\Omega.

Passo 2

Conceito e fórmula principal (explicando tudo devagar):
  • Em série, a impedância total é a soma das impedâncias do resistor e do capacitor:
Z_T = Z_R + Z_C.
  • A impedância do resistor é puramente real:
Z_R = R,
onde R é a resistência em ohms.
  • A impedância do capacitor é puramente imaginária (com sinal negativo) e vale
Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C},
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1), \omega é a frequência angular e C é a capacitância em farads.
  • A frequência angular \omega é
\omega = 2\pi f.
Resumo: precisamos calcular \omega, depois X_C=\dfrac{1}{\omega C} (a reatância capacitiva), e então montar
Z_T = R - jX_C.

Passo 3

Converter unidades (muito importante para não errar):
C = 0,005\\ \mu\mathrm{F} = 0,005\times10^{-6}\\ \mathrm{F} = 5\times10^{-9}\\ \mathrm{F},
R = 10\\ \mathrm{M}\Omega = 10\times10^{6}\\ \Omega = 1\times10^{7}\\ \Omega,
f = 8\\ \mathrm{kHz} = 8\times10^{3}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Calcular a frequência angular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot(8\times10^{3}) \approx 5,026548\times10^{4}\\ \mathrm{rad/s}.
Expliquei: multiplica-se 2\pi por f para obter rad/s — essa é a frequência usada nas fórmulas de impedância.

Passo 5

Calcular a reatância capacitiva X_C:
X_C = \frac{1}{\omega C}.
Substituindo os valores (usei C=5\times10^{-9}\\ \mathrm{F} e \omega calculado):
X_C = \frac{1}{(5,026548\times10^{4})\cdot(5\times10^{-9})} \approx 3,9789\times10^{3}\\ \Omega.
Interpretação: X_C é a magnitude da “resistência” que o capacitor apresenta em corrente alternada; aqui vale cerca de 3{,}98\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 6

Montar a impedância total em forma retangular (parte real + j·parte imaginária):
Z_T = R - jX_C = 1\times10^{7} - j\,(3,9789\times10^{3})\\ \Omega.
Comentário didático: o sinal negativo antes de jX_C mostra que a corrente no capacitor está adiantada em relação à tensão (propriedade dos capacitores). Em série somamos as partes reais e imaginárias.

Passo 7

Calcular magnitude e fase (útil para interpretar):
  • Magnitude:
|Z_T| = \sqrt{R^{2}+X_C^{2}} \approx \sqrt{(1\times10^{7})^{2}+(3,9789\times10^{3})^{2}} \approx 10\,000\,000{,}79\\ \Omega.
  • Fase:
\varphi = \arctan\!\left(-\frac{X_C}{R}\right) \approx -\arctan\!\left(\frac{3,9789\times10^{3}}{1\times10^{7}}\right) \approx -0{,}0003979\\ \mathrm{rad}\approx -0{,}0228^\circ.
Interpretação prática: a parte imaginária é muito pequena diante de R enorme, então a impedância é praticamente resistiva (aproximadamente 10\\ \mathrm{M}\Omega) e o ângulo é quase zero.

Resposta

Z_T = 1\times10^{7} - j\,(3,9789\times10^{3})\\ \Omega
|Z_T|\approx 10\,000\,000{,}79\\ \Omega,\quad \varphi\approx -0{,}0228^\circ

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