5.21 Seja a superficie
um condutor perfeito no espaço livre. Duas linhas infinitas e uniformes de cargas de
cada estão posicionadas em
. (a) Considere que
no plano
calcule
. (b) Calcule E em
.
Passo 1
O enunciado fornece:
- O plano
é um condutor perfeito e foi fixado nesse plano. - Existem duas linhas infinitas e uniformes de carga, cada uma com densidade linear
(ou seja ), posicionadas em e . As linhas são paralelas ao eixo . - Pede-se:
(a) calcular o potencial elétricono ponto ;
(b) calcular o campo elétricono ponto .
Informações relevantes extraídas do enunciado: posições das cargas, valor de
, plano condutor com
, e as coordenadas do ponto
. A resolução começará a partir do próximo passo.
Passo 2
Escolha do método e ideia física (explicação didática):
- Para um plano condutor perfeito em
com potencial fixado em zero, uma técnica prática é o método das cargas imagem: substituir o condutor por cargas imagem localizadas simetricamente abaixo do plano, com sinais escolhidos de modo que o potencial total na região acima do plano satisfaça a condição de contorno em . - Para cada linha real de densidade
em (com ) colocamos uma linha imagem em com densidade . Isso garante que o potencial resultante sobre seja zero (mostraremos isso implicitamente usando a simetria). - Assim, no espaço acima do plano (
) o campo e o potencial produzidos pelas cargas reais e pelas imagens (no espaço livre, sem o condutor) coincidem com os produzidos pelo condutor com as cargas reais.
Passo 3
Fórmula do potencial de uma linha infinita e aplicação para o problema:
- Lembrete importante: o potencial (em 2D) devido a uma linha infinita de carga
localizada numa posição no plano depende apenas da distância perpendicular entre o ponto de interesse e a linha. Uma forma conveniente para trabalhar com pares carga–imagem é usar a expressão relativa (que elimina constantes de referência):
para uma linha com densidadee sua imagem com densidade as contribuições somadas dão onde é a distância do ponto à linha real e é a distância à linha imagem. Explico por que: a expressão geral para uma linha isolada é com uma constante arbitrária ; somando uma linha de densidade com sua própria constante as constantes se cancelam e sobra a razão dos raios. - Para o nosso caso temos duas linhas reais (em
e ) e duas imagens (em e ), cada imagem com densidade . O potencial total em será soma das contribuições pares: onde índices 1 e 2 correspondem às linhas em e . - Calculemos as distâncias no plano
do ponto (ignoramos porque as linhas são invariantes em ): - Para a linha real em
: A imagem está em , então - Para a linha real em
: A imagem está em , então
- Para a linha real em
- Substituindo essas distâncias em
: Simplificando os logaritmos: Logo - Agora calculamos numericamente. Valores:
Compute-se E . Portanto (Arredondarei na resposta final para três algarismos significativos.)
Passo 4
Cálculo do campo elétrico
em
por superposição (passo a passo e didático):
- Fórmula para o campo de uma linha infinita: em módulo, para uma linha de densidade
a distância do eixo da linha, e a direção é radial (do eixo da linha para o ponto) se . Em forma vetorial, para uma linha em o vetor posição relativo é e o campo (com sinal de ) é (mais diretamente usamos e .) - No nosso caso cada linha tem contribuição com sinal de
para as reais e para as imagens. Vamos calcular as componentes e somando as 4 contribuições. - Constante comum:
- Para cada linha calculemos
, o versor e a contribuição: - Linha real em
: vetor relativo , . Numericamente: ,
- Linha real em
: vetor relativo , . - Imagem em
com : vetor relativo , . - Imagem em
com : vetor relativo , .
- Linha real em
- Somando componente a componente:
Não há componente
(as linhas são infinitas em
).
- Opcionalmente, o módulo de
é apontando aproximadamente na direção quase horizontal positiva (para + ) com um pequeno componente negativo em .