5.12 Verifique se o campo elétrico do dipolo satisfaz a primeira lei de Maxwell da Eletrostática na forma diferencial.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o campo elétrico de um dipolo pontual satisfaz a forma diferencial da primeira lei de Maxwell da Eletrostática, ou seja,
\nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Vamos precisar da expressão do campo de um dipolo como superposição de dois campos de Coulomb e da identidade distribucional
\nabla\cdot\!\biggl(\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert^{3}}\biggr) =4\pi\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}).

Passo 2

Escrevemos o campo elétrico do dipolo formado por carga +q em \mathbf{r}_{+} e carga -q em \mathbf{r}_{-}:
\mathbf{E}(\mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Bigl[ q\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}\rvert^{3}} \;-\; q\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{-}}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_{-}\rvert^{3}} \Bigr].

Passo 3

Para \mathbf{r}\neq \mathbf{r}_{+} e \mathbf{r}\neq \mathbf{r}_{-}, cada termo é divergência livre, pois vale
\nabla\cdot\!\biggl(\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert^{3}}\biggr)=0 \quad(\mathbf{r}\neq \mathbf{r}_{0}).
Logo, fora dos pontos de carga, \nabla\cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})=0.

Passo 4

Na distribuição de Dirac, a divergência de cada termo traz contribuição pontual:
\nabla\cdot \mathbf{E} =\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}} \Bigl[ 4\pi\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}) \;-\; 4\pi\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{-}) \Bigr] =\frac{q}{\varepsilon_{0}} \bigl[\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+})-\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{-})\bigr].

Passo 5

Reconhecendo que a densidade de carga do dipolo é
\rho(\mathbf{r})=q\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{+}) \;-\; q\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{-}),
vemos imediatamente que
\nabla\cdot \mathbf{E} =\frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_{0}}.

Resposta

O campo elétrico do dipolo satisfaz
\nabla\cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
isto é, está de acordo com a primeira lei de Maxwell da Eletrostática na forma diferencial.

Exercícios relacionados