por duas fendas paralelas com largura a e separadas por uma distância d. Seja d=4 a. (a) Desprezando os efeitos de difração por causa da largura de cada uma das fendas, qual o ângulo \theta com o máximo central que cada um dos 3 primeiros máximos ocorrem? (b) Qual a intensidade de cada uma deles, se I_{0} é a intensidade do máximo central? (c) Quantos deles estão dentro do primeiro máximo de difração?

Passo 1

Temos um arranjo de duas fendas de separação d (centro a centro) e largura cada uma a, com d=4a, e estamos desprezando o efeito da difração de cada fenda (isto é, supondo fendas pontuais). O conteúdo é interferência de duas fendas, em que os máximos de intensidade ocorrem quando a diferença de caminho satisfaz
d\sin\theta = m\,\lambda,
com m\in\{0,\pm1,\pm2,\dots\}. Vamos usar isso para (a) achar os ângulos dos três primeiros máximos, (b) calcular suas intensidades relativas e (c) ver quantos estão dentro do primeiro lóbe de difração de cada fenda.

Passo 2

Para os máximos de ordem m=1,2,3 temos
\sin\theta_m = \frac{m\,\lambda}{d} = \frac{m\,\lambda}{4a}.
Logo,
\theta_1 = \arcsin\!\Bigl(\frac{\lambda}{4a}\Bigr),\quad \theta_2 = \arcsin\!\Bigl(\frac{2\lambda}{4a}\Bigr)=\arcsin\!\Bigl(\frac{\lambda}{2a}\Bigr),\quad \theta_3 = \arcsin\!\Bigl(\frac{3\lambda}{4a}\Bigr).

Passo 3

A intensidade de interferência (desprezando envelope de difração) segue
I(\theta)=I_0\cos^2\!\Bigl(\frac{\pi\,d\sin\theta}{\lambda}\Bigr).
No máximo de ordem m temos d\sin\theta_m=m\lambda, então
I_m = I_0\cos^2(m\pi) = I_0\cdot1 = I_0.
Portanto todos os máximos têm intensidade I_0.

Passo 4

O primeiro mínimo de difração de uma fenda de largura a ocorre em \sin\theta_{\min}=\lambda/a. Para que um máximo de interferência esteja dentro desse lóbe principal, precisamos
\sin\theta_m = \frac{m\lambda}{4a} < \frac{\lambda}{a} \quad\Longrightarrow\quad m < 4.
Assim m pode ser 0,\pm1,\pm2,\pm3, totalizando 7 máximos (um central e três de cada lado) com intensidade não nula dentro do primeiro lóbe de difração.

Resposta

(a) \;\theta_1=\arcsin\!\bigl(\tfrac{\lambda}{4a}\bigr),\ \theta_2=\arcsin\!\bigl(\tfrac{\lambda}{2a}\bigr),\ \theta_3=\arcsin\!\bigl(\tfrac{3\lambda}{4a}\bigr).
(b) \;I_1=I_2=I_3=I_0.
(c) \;7 máximos estão dentro do primeiro lóbe de difração.

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