( ) 127. O que difere uma aleta uniforme de uma aleta não-uniforme?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a diferença entre uma aleta uniforme e uma aleta não-uniforme. O conteúdo envolve transferência de calor por condução em aletas (fins), modeladas por uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver, precisamos entender o que muda nas propriedades geométricas (área da seção transversal e perímetro molhado) e como isso afeta a formulação matemática do problema.

Passo 2

Definição de aleta uniforme
Uma aleta é dita uniforme quando sua área da seção transversal A e seu perímetro molhado P são constantes ao longo do comprimento x. Nesse caso, o parâmetro
m = \sqrt{\frac{h\,P}{k\,A}}
é constante, e a equação diferencial unidimensional para a temperatura excessiva \theta(x)=T(x)-T_\infty fica
\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}x^2} - m^2\,\theta = 0,
cuja solução analítica (exponencial ou hiperbólica) é direta.

Passo 3

Definição de aleta não-uniforme
Uma aleta é não-uniforme quando A e/ou P variam com x, ou seja, A=A(x) e P=P(x). Então o parâmetro
m(x)=\sqrt{\frac{h\,P(x)}{k\,A(x)}}
é função de x, e a equação diferencial geral passa a ser
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\bigl[A(x)\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\bigr] - h\,P(x)\,\theta = 0.
Geralmente não há solução elementar simples e recorre-se a métodos numéricos ou a formas especiais (aleta cônica, triangular etc.).

Passo 4

Implicações práticas
  1. Para aletas uniformes temos solução fechada e expressões diretas de eficiência e comprimento ótimo.
  2. Para aletas não-uniformes, a variação de A(x) e P(x) pode melhorar a distribuição de calor, mas exige integração numérica ou aproximações e costuma usar formatos cônico ou trapezoidal para se aproximar de um perfil ótimo.

Resposta

A aleta uniforme tem seção transversal e perímetro constantes ao longo do comprimento, levando a um parâmetro m fixo e a uma equação diferencial de coeficientes constantes. A aleta não-uniforme tem seção e/ou perímetro que variam com a posição, fazendo o parâmetro m(x) depender de x e resultando numa equação diferencial de coeficientes variáveis, normalmente solucionada por métodos numéricos ou formas especiais.

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