( ) 98. Uma reação química exotérmica ocorre num reator tubular de 3 m de comprimento e 5 mm de diâmetro. O reator é revestido com um material cerâmico ( 0,2 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) de 2 mm de espessura usado para manter a temperatura do sistema sob controle. A taxa de TC, que é igual ao calor produzido no reator, é de 100 W . O ambiente do laboratório encontra-se à 28^{\circ} \mathrm{C} e apresenta um coeficiente de película de 11,08 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Sabendo-se que:
(i) é necessário remover calor do sistema para a adequada operação do reator em regime permanente;
(ii) para melhor performance do reator, ele deve operar na mínima temperatura possível considerando as dimensões geométricas atuais do tubo e as condições do ambiente;
(iii) e a máxima retirada de calor do reator produz a temperatura mínima possível na interface.
Nestas condições, calcule:
(a) qual é a temperatura da interface tubo-revestimento na configuração atual;
(b) no caso de alterarmos a espessura do revestimento a fim de se satisfazer a condição (ii), qual é a temperatura mínima possível que se pode atingir na interface;
(c) e de quantos milímetros deverá o aumento ou diminuição da espessura do revestimento para atingir as condições esperadas nas condições (i), (ii) e (iii).

Passo 1

O enunciado trata de um reator tubular de comprimento L=3{,}0\\ \mathrm{m} e diâmetro interno D=5{,}0\\ \mathrm{mm}, logo
r_i = \frac{D}{2} = 2{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0025\\ \mathrm{m}.
O tubo está envolto por um revestimento cerâmico de condutividade térmica k=0{,}2\\ \mathrm{W/(mK)} e espessura inicial t_i=2{,}0\\ \mathrm{mm}, ou seja
r_{o1}=r_i + t_i = 4{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0045\\ \mathrm{m}.
A taxa de calor gerado no reator é \dot Q=100\\ \mathrm{W}. O ambiente está a T_\infty=28\\ ^\circ\text{C} com coeficiente de película h=11{,}08\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Queremos calcular:
(a) a temperatura da interface tubo-revestimento na configuração atual;
(b) a temperatura mínima possível na interface ao variar a espessura;
(c) o quanto alterar a espessura para atingir essa condição ótima.

Passo 2

Em regime permanente todo o calor \dot Q sai radialmente pelo revestimento e depois por convecção na superfície externa. As resistências térmicas são
R_{\mathrm{cond}} = \frac{\ln\bigl(r_{o}/r_i\bigr)}{2\pi\,k\,L}, \quad R_{\mathrm{conv}} = \frac{1}{h\,(2\pi\,r_{o}\,L)}.
Para a configuração atual usa-se r_o=r_{o1}. Calcula-se
R_{\mathrm{cond},1} = \frac{\ln(0{,}0045/0{,}0025)}{2\pi\cdot0{,}2\cdot3} \approx0{,}1559\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv},1} = \frac{1}{11{,}08\,(2\pi\cdot0{,}0045\cdot3)} \approx1{,}0646\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{tot},1}=R_{\mathrm{cond},1}+R_{\mathrm{conv},1}\approx1{,}2205\\ \mathrm{K/W}.
Assim, a temperatura da interface vale
T_{i1} = T_\infty + \dot Q\;R_{\mathrm{tot},1} =28 + 100\cdot1{,}2205 \approx150{,}1\\ ^\circ\text{C}.

Passo 3

Para obter a menor temperatura na interface, minimizamos a resistência total em função do raio externo r_o:
R_{\mathrm{tot}}(r_o) = \frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k L} + \frac{1}{h\,(2\pi r_o L)}.
Fazendo \dfrac{dR_{\mathrm{tot}}}{dr_o}=0 obtém-se
\frac{1}{2\pi kL}\,\frac{1}{r_o} \;-\;\frac{1}{h\,(2\pi L)}\,\frac{1}{r_o^2} =0 \quad\Longrightarrow\quad r_{o,\mathrm{opt}} = \frac{k}{h}\approx\frac{0{,}2}{11{,}08}=0{,}01805\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Com r_{o,\mathrm{opt}}=0{,}01805\\ \mathrm{m} temos
R_{\mathrm{cond},\mathrm{opt}} = \frac{\ln(0{,}01805/0{,}0025)}{2\pi\cdot0{,}2\cdot3} \approx0{,}5241\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv},\mathrm{opt}} = \frac{1}{11{,}08\,(2\pi\cdot0{,}01805\cdot3)} \approx0{,}2652\\ \mathrm{K/W},
R_{\mathrm{tot},\mathrm{opt}} \approx0{,}5241+0{,}2652=0{,}7893\\ \mathrm{K/W},
T_{i,\mathrm{min}} = 28 +100\cdot0{,}7893 \approx106{,}9\\ ^\circ\text{C}.

Passo 5

A espessura ótima do revestimento é
t_{\mathrm{opt}} = r_{o,\mathrm{opt}} - r_i =0{,}01805-0{,}0025=0{,}01555\\ \mathrm{m}=15{,}55\\ \mathrm{mm}.
Como a espessura atual é 2{,}0\\ \mathrm{mm}, deve-se aumentá-la em
\Delta t = 15{,}55 - 2{,}00 = 13{,}55\\ \mathrm{mm}.

Resposta

(a) T_{i1}\approx150{,}1\\ ^\circ\text{C}.
(b) T_{i,\mathrm{min}}\approx106{,}9\\ ^\circ\text{C}.
(c) A espessura deve aumentar cerca de 13{,}55\\ \mathrm{mm}.

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