13.11. O elemento estrutural
é feito de aço A- 36 e usado como uma coluna de
de comprimento. Se as extremidades da coluna estiverem engastadas, a coluna pode suportar a carga crítica sem escoamento?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (resumindo claramente o que é pedido e o que temos):
- Tipo de coluna: seção
(perfil I, designação do fabricante). - Material: aço A-36.
- Comprimento da coluna:
. - Condições de apoio: ambas as extremidades engastadas (fixas).
- Pergunta: “A coluna pode suportar a carga crítica (de Euler) sem escoamento (sem que o material atinja a tensão de escoamento)?”
Informações necessárias para resolver (mas que não foram fornecidas no enunciado):
- Área da seção transversal
da viga . - Momento de inércia em relação ao eixo de flambagem
(normalmente , eixo forte) dessa seção.
Obs.: a designação
na nomenclatura
normalmente indica massa por comprimento
, informação que podemos usar para obter
se for necessário. No entanto,
(ou
) só vem das tabelas de propriedades da seção (apêndice / catálogo) e não está no enunciado.
Passo 2
Plano de solução (o que vamos calcular e por quê):
- Usaremos a fórmula de Euler para carga crítica de flambagem elástica:
- Para saber se a coluna suporta essa carga sem escoar, comparamos a tensão associada à
com o limite de escoamento do aço A-36. A tensão crítica correspondente é
- Se
então a coluna flambeará elasticamente antes de escoar — isto é, a carga crítica de Euler ocorre sem escoamento (resposta “sim”). - Se
então o material escoará antes de atingir a carga crítica de Euler (resposta “não”) — nesse caso a fórmula de Euler não é aplicável na sua forma simples porque o comportamento será plástico/inelástico.
Aqui explico as variáveis das fórmulas:
-
: carga crítica de Euler (N). -
: módulo de elasticidade do aço (Pa). Para o aço usaremos ( ). -
: momento de inércia da seção (m^4). -
: fator de comprimento efetivo (adimensional). Para apoio engastado-emgastado vale . -
: comprimento da coluna (m). -
: área da seção (m^2). -
: tensão média associada a (Pa). -
: tensão de escoamento do aço A-36 (usualmente ).
Passo 3
Derivação da condição prática que precisamos checar (tudo passo a passo):
- Parte 1: expressão de
em termos de e . Substituindo em temos
- Como
para ambas extremidades engastadas, . Assim
- Outra forma útil (usando raio de giração
):
Essas fórmulas mostram claramente que, para avaliar
, precisamos de
e
(ou de
) da seção.
Passo 4
Cálculo da área
a partir da designação
(informação útil que podemos extrair sem tabela):
- A designação indica massa linear
. - Com a densidade do aço
, a área é
- Em unidades mais usuais para seções:
Observação: este cálculo de
usa apenas a massa por metro que está implícita em
— isto é seguro. Porém, o momento de inércia
NÃO pode ser obtido apenas da massa por comprimento; é preciso consultar as tabelas do fabricante / apêndice da tabela de perfis para o valor de
(ou do raio de giração
).
Passo 5
Montagem de uma expressão numérica prática que você pode calcular rapidamente na prova assim que obtiver
(ou
) da tabela:
- Substituindo
, e na fórmula em unidades coerentes (MPa, mm) obtemos
- Calculando a constante numérica (passo a passo):
-
. -
. - Assim a constante é
.
-
- Portanto, com
em ,
Esta fórmula é útil: basta pegar
da tabela (em
) e multiplicar por
para obter
em
.
Passo 6
Critério numérico para decidir escoamento vs. flambagem elástica (fórmula invertida — momento de inércia crítico):
- Queremos saber se
com (A-36). Da expressão acima, igualando e isolando obtemos o momento de inércia de limiar:
- Usando a constante já calculada, numericamente (em
):
Interpretação:
- Se a seção tiver
, então e o aço escoará antes de atingir a carga crítica de Euler (portanto, NÃO suporta a carga crítica sem escoamento). - Se a seção tiver
, então e a coluna flambeará elasticamente antes de escoar (portanto, SUPORTA a carga crítica sem escoamento).
Passo 7
O que falta e o que você deve fazer na prova / como concluir:
- Para finalizar numericamente a verificação para o perfil
é necessário pegar da tabela da seção o valor de (geralmente , em ) — essa é a única informação que o enunciado não fornece. - Depois de obter
da tabela, faça: - calcule
; - compare com
.
- calcule
- Alternativamente compare diretamente
da tabela com . - Se
da tabela for maior que a resposta ao enunciado é “Não” (escoamento antes do limite de Euler). Se for menor, a resposta é “Sim” (flambagem elástica ocorre antes do escoamento).
Passo 8
Dica prática e observações finais (amigável e motivadora):
- Normalmente perfis pesados como
têm momentos de inércia relativamente grandes — é bastante provável que real da seção supere e, portanto, que o aço escoe antes de se atingir a carga crítica de Euler. Mas NÃO é aceitável afirmar isso sem consultar a tabela de perfis — então busque o no apêndice da sua apostila ou no catálogo. - Na prova: pegue
, use a expressão numérica que deixei pronta e compare com . Isso leva dois minutos e evita erro de conceito. - Força aí! Se quiser, me manda o valor de
(ou uma foto da tabela) e eu faço a conta final rapidinho.
Resposta
Não é possível determinar numericamente com os dados fornecidos — falta o momento de inércia
(ou o raio de giração
) da seção
.
Condição de referência: se então não suporta a carga crítica sem escoamento (escoamento ocorre antes de
); se
então suporta.
Condição de referência: se