13.11. O elemento estrutural \mathrm{W} 250 \times 67 é feito de aço A- 36 e usado como uma coluna de 4,5 \mathrm{~m} de comprimento. Se as extremidades da coluna estiverem engastadas, a coluna pode suportar a carga crítica sem escoamento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (resumindo claramente o que é pedido e o que temos):
  • Tipo de coluna: seção \mathrm{W}\,250\times67 (perfil I, designação do fabricante).
  • Material: aço A-36.
  • Comprimento da coluna: L = 4,5\\ \mathrm{m}.
  • Condições de apoio: ambas as extremidades engastadas (fixas).
  • Pergunta: “A coluna pode suportar a carga crítica (de Euler) sem escoamento (sem que o material atinja a tensão de escoamento)?”
Informações necessárias para resolver (mas que não foram fornecidas no enunciado):
  • Área da seção transversal A da viga \mathrm{W}\,250\times67.
  • Momento de inércia em relação ao eixo de flambagem I (normalmente I_x, eixo forte) dessa seção.
Obs.: a designação 67 na nomenclatura \mathrm{W}\,250\times67 normalmente indica massa por comprimento =67\\ \mathrm{kg/m}, informação que podemos usar para obter A se for necessário. No entanto, I (ou r=\sqrt{I/A}) só vem das tabelas de propriedades da seção (apêndice / catálogo) e não está no enunciado.

Passo 2

Plano de solução (o que vamos calcular e por quê):
  • Usaremos a fórmula de Euler para carga crítica de flambagem elástica:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.
  • Para saber se a coluna suporta essa carga sem escoar, comparamos a tensão associada à P_{cr} com o limite de escoamento F_y do aço A-36. A tensão crítica correspondente é
\sigma_{cr}=\frac{P_{cr}}{A}.
  • Se \sigma_{cr}<F_y então a coluna flambeará elasticamente antes de escoar — isto é, a carga crítica de Euler ocorre sem escoamento (resposta “sim”).
  • Se \sigma_{cr}\ge F_y então o material escoará antes de atingir a carga crítica de Euler (resposta “não”) — nesse caso a fórmula de Euler não é aplicável na sua forma simples porque o comportamento será plástico/inelástico.
Aqui explico as variáveis das fórmulas:
  • P_{cr}: carga crítica de Euler (N).
  • E: módulo de elasticidade do aço (Pa). Para o aço usaremos E\approx 200\\ \mathrm{GPa} ( 200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}).
  • I: momento de inércia da seção (m^4).
  • K: fator de comprimento efetivo (adimensional). Para apoio engastado-emgastado vale K=0{,}5.
  • L: comprimento da coluna (m).
  • A: área da seção (m^2).
  • \sigma_{cr}: tensão média associada a P_{cr} (Pa).
  • F_y: tensão de escoamento do aço A-36 (usualmente F_y\approx 250\\ \mathrm{MPa}).

Passo 3

Derivação da condição prática que precisamos checar (tudo passo a passo):
  • Parte 1: expressão de \sigma_{cr} em termos de I e A. Substituindo P_{cr} em \sigma_{cr}=P_{cr}/A temos
\sigma_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2} A}.
  • Como K=0{,}5 para ambas extremidades engastadas, (K L)^{2}=(0{,}5L)^{2}=0{,}25L^{2}. Assim
\sigma_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{0{,}25\,L^{2} A}= \frac{4\pi^{2} E I}{L^{2} A}.
  • Outra forma útil (usando raio de giração r=\sqrt{I/A}):
\sigma_{cr}=\frac{\pi^{2} E r^{2}}{(K L)^{2}} \quad\text{ou}\quad \sigma_{cr}=4\pi^{2}E\left(\frac{r}{L}\right)^{2}.
Essas fórmulas mostram claramente que, para avaliar \sigma_{cr}, precisamos de I e A (ou de r) da seção.

Passo 4

Cálculo da área A a partir da designação \mathrm{W}\,250\times67 (informação útil que podemos extrair sem tabela):
  • A designação indica massa linear m=67\\ \mathrm{kg/m}.
  • Com a densidade do aço \rho\approx7850\\ \mathrm{kg/m^{3}}, a área é
A=\frac{m}{\rho}=\frac{67\\ \mathrm{kg/m}}{7850\\ \mathrm{kg/m^{3}}}=0{,}008535\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Em unidades mais usuais para seções:
A=0{,}008535\\ \mathrm{m^{2}}=8535\\ \mathrm{mm^{2}}.
Observação: este cálculo de A usa apenas a massa por metro que está implícita em 67 — isto é seguro. Porém, o momento de inércia I NÃO pode ser obtido apenas da massa por comprimento; é preciso consultar as tabelas do fabricante / apêndice da tabela de perfis para o valor de I (ou do raio de giração r).

Passo 5

Montagem de uma expressão numérica prática que você pode calcular rapidamente na prova assim que obtiver I (ou r) da tabela:
  • Substituindo E=200\\ \mathrm{GPa}=200{,}000\\ \mathrm{MPa}, L=4{,}5\\ \mathrm{m}=4500\\ \mathrm{mm} e A=8535\\ \mathrm{mm^{2}} na fórmula em unidades coerentes (MPa, mm) obtemos
\sigma_{cr}\\ (\mathrm{MPa}) = \frac{4\pi^{2} E\\ (\mathrm{MPa})\; I\\ (\mathrm{mm^{4}})}{L^{2}\\ (\mathrm{mm^{2}})\; A\\ (\mathrm{mm^{2}})}.
  • Calculando a constante numérica (passo a passo):
    • 4\pi^{2} E = 4\cdot 9{,}8696 \cdot 200{,}000 \approx 7{.}895{,}68\times 10^{6}.
    • L^{2}A = 4500^{2}\cdot 8535 \approx 1{,}7283375\times10^{11}.
    • Assim a constante é \dfrac{4\pi^{2}E}{L^{2}A}\approx 4{,}568\times10^{-5}\\ \mathrm{MPa/mm^{4}}.
  • Portanto, com I em \mathrm{mm^{4}},
\sigma_{cr}\\ (\mathrm{MPa}) \approx 4{,}568\times10^{-5}\; I\\ (\mathrm{mm^{4}}).
Esta fórmula é útil: basta pegar I da tabela (em \mathrm{mm^{4}}) e multiplicar por 4{,}568\times10^{-5} para obter \sigma_{cr} em \mathrm{MPa}.

Passo 6

Critério numérico para decidir escoamento vs. flambagem elástica (fórmula invertida — momento de inércia crítico):
  • Queremos saber se \sigma_{cr}<F_y com F_y\approx 250\\ \mathrm{MPa} (A-36). Da expressão acima, igualando \sigma_{cr}=F_y e isolando I obtemos o momento de inércia de limiar:
I_{lim}=\frac{F_y}{4\pi^{2}E}\,L^{2}A.
  • Usando a constante já calculada, numericamente (em \mathrm{mm^{4}}):
I_{lim}\\ (\mathrm{mm^{4}})=\frac{250\\ \mathrm{MPa}}{4{,}568\times10^{-5}\\ \mathrm{MPa/mm^{4}}}\approx 5{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}}.
Interpretação:
  • Se a seção tiver I > 5{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}}, então \sigma_{cr}>250\\ \mathrm{MPa} e o aço escoará antes de atingir a carga crítica de Euler (portanto, NÃO suporta a carga crítica sem escoamento).
  • Se a seção tiver I < 5{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}}, então \sigma_{cr}<250\\ \mathrm{MPa} e a coluna flambeará elasticamente antes de escoar (portanto, SUPORTA a carga crítica sem escoamento).

Passo 7

O que falta e o que você deve fazer na prova / como concluir:
  • Para finalizar numericamente a verificação para o perfil \mathrm{W}\,250\times67 é necessário pegar da tabela da seção o valor de I (geralmente I_x, em \mathrm{mm^{4}}) — essa é a única informação que o enunciado não fornece.
  • Depois de obter I da tabela, faça:
    1. calcule \sigma_{cr}=4{,}568\times10^{-5}\; I\\ (\mathrm{MPa});
    2. compare com F_y=250\\ \mathrm{MPa}.
  • Alternativamente compare diretamente I da tabela com I_{lim}=5{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}}.
  • Se I da tabela for maior que 5{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}} a resposta ao enunciado é “Não” (escoamento antes do limite de Euler). Se for menor, a resposta é “Sim” (flambagem elástica ocorre antes do escoamento).

Passo 8

Dica prática e observações finais (amigável e motivadora):
  • Normalmente perfis pesados como \mathrm{W}\,250\times67 têm momentos de inércia relativamente grandes — é bastante provável que I real da seção supere 5{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}} e, portanto, que o aço escoe antes de se atingir a carga crítica de Euler. Mas NÃO é aceitável afirmar isso sem consultar a tabela de perfis — então busque o I no apêndice da sua apostila ou no catálogo.
  • Na prova: pegue I, use a expressão numérica que deixei pronta e compare com F_y. Isso leva dois minutos e evita erro de conceito.
  • Força aí! Se quiser, me manda o valor de I (ou uma foto da tabela) e eu faço a conta final rapidinho.

Resposta

Não é possível determinar numericamente com os dados fornecidos — falta o momento de inércia I (ou o raio de giração r) da seção \mathrm{W}\,250\times67.
Condição de referência: se I>5{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}} então não suporta a carga crítica sem escoamento (escoamento ocorre antes de P_{cr}); se I<5{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{mm^{4}} então suporta.

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