7.6. A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível
. Se for submetida a um cisalhamento
, determine a menor dimensão
de sua parte inferior e 1,5a de seus lados.
Passo 1
O enunciado pede determinar a menor dimensão
da base da viga (e, por consequência, o valor de
para a altura lateral) de modo que a tensão de cisalhamento não exceda a tensão admissível. Informações dadas (retiradas da figura e do enunciado):
- Tensão de cisalhamento admissível:
. - Força de cisalhamento aplicada:
. - Seção transversal retangular com largura (base) igual a
e altura igual a (peguei esses comprimentos da figura).
A pergunta é: qual o menorque garante ?
Passo 2
Apresentação da fórmula que vamos usar e o que cada termo significa.
Para esforço de cisalhamento vertical numa seção transversa, a tensão de cisalhamento na posição dada é
Para esforço de cisalhamento vertical numa seção transversa, a tensão de cisalhamento na posição dada é
onde:
-
é a força cortante (força de cisalhamento) aplicada na seção; -
é o primeiro momento de área da parte da seção situada acima (ou abaixo) do plano onde se calcula , medido em relação ao eixo neutro; -
é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro; -
é a largura (espessura) da seção na linha onde se calcula a tensão (no nosso caso, a largura horizontal da seção, que é ).
A máxima tensão de cisalhamento numa viga de seção retangular ocorre no eixo neutro (centro geométrico, plano médio). Logo vamos calcularnesse eixo.
Passo 3
Definir as dimensões e calcular
e
em termos de
.
Coloque:
Coloque:
Para o eixo neutro,
(usando a metade superior da seção retangular) é:
- área da metade superior:
, - distância do centróide dessa metade ao eixo neutro:
.
Portanto
O momento de inércia da seção inteira (retângulo) em relação ao eixo neutro horizontal é
A espessura
na linha do eixo neutro é simplesmente
.
Passo 4
Substituir
,
e
na fórmula da tensão e simplificar para obter
.
Como a área da seção é
, isso também é
Agora substituímos
e
, de modo que
. Assim
Observe que
. Portanto a expressão se simplifica fortuitamente para
Passo 5
Impor a condição de segurança e resolver para
.
Queremos , ou seja
Queremos
Agora numericamente (usar unidades SI):
Logo
Arredondando de modo prático para projeto:
O correspondente valor de
é
Passo 6
Interpretação final e incentivo rápido: o cálculo mostrou que, por causa da forma particular (altura
), a máxima tensão de cisalhamento reduz à expressão simples
, o que facilita muito a escolha de
. Bom trabalho — já tem o menor
que satisfaz a condição de cisalhamento.