7.6. A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível \boldsymbol{\tau}_{\text {adm }}=11,2 \mathrm{MPa}. Se for submetida a um cisalhamento V=20 \mathrm{kN}, determine a menor dimensão a de sua parte inferior e 1,5a de seus lados.

Passo 1

O enunciado pede determinar a menor dimensão a da base da viga (e, por consequência, o valor de 1{,}5a para a altura lateral) de modo que a tensão de cisalhamento não exceda a tensão admissível. Informações dadas (retiradas da figura e do enunciado):
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\text{adm}}=11{,}2\\ \text{MPa}.
  • Força de cisalhamento aplicada: V=20\\ \text{kN}.
  • Seção transversal retangular com largura (base) igual a a e altura igual a 1{,}5a (peguei esses comprimentos da figura).
    A pergunta é: qual o menor a que garante \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}?

Passo 2

Apresentação da fórmula que vamos usar e o que cada termo significa.
Para esforço de cisalhamento vertical numa seção transversa, a tensão de cisalhamento na posição dada é
\tau=\frac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • V é a força cortante (força de cisalhamento) aplicada na seção;
  • Q é o primeiro momento de área da parte da seção situada acima (ou abaixo) do plano onde se calcula \tau, medido em relação ao eixo neutro;
  • I é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro;
  • t é a largura (espessura) da seção na linha onde se calcula a tensão (no nosso caso, a largura horizontal da seção, que é a).
    A máxima tensão de cisalhamento numa viga de seção retangular ocorre no eixo neutro (centro geométrico, plano médio). Logo vamos calcular \tau_{\max} nesse eixo.

Passo 3

Definir as dimensões e calcular Q e I em termos de a.
Coloque:
b = a\quad(\text{largura da seção}), \qquad h = 1{,}5a\quad(\text{altura da seção}).çãçã
Para o eixo neutro, Q (usando a metade superior da seção retangular) é:
  • área da metade superior: A' = b\cdot\frac{h}{2},
  • distância do centróide dessa metade ao eixo neutro: \bar{y}=\frac{h}{4}.
    Portanto
Q = A'\,\bar{y} = b\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{h}{4} = \frac{b\,h^{2}}{8}.
O momento de inércia da seção inteira (retângulo) em relação ao eixo neutro horizontal é
I = \frac{b\,h^{3}}{12}.
A espessura t na linha do eixo neutro é simplesmente t=b.

Passo 4

Substituir Q, I e t na fórmula da tensão e simplificar para obter \tau_{\max}.
\tau_{\max}=\frac{V\,Q}{I\,t} = \frac{V\left(\dfrac{b\,h^{2}}{8}\right)}{\left(\dfrac{b\,h^{3}}{12}\right)\,b} = V\cdot\frac{12}{8}\cdot\frac{b\,h^{2}}{b^{2}\,h^{3}} = \frac{3}{2}\cdot\frac{V}{b\,h}.
Como a área da seção é A=b\,h, isso também é
\tau_{\max}=\frac{3}{2}\cdot\frac{V}{A}.
Agora substituímos b=a e h=1{,}5a, de modo que A=a\cdot(1{,}5a)=1{,}5\,a^{2}. Assim
\tau_{\max}=\frac{3}{2}\cdot\frac{V}{1{,}5\,a^{2}}.
Observe que \dfrac{3/2}{1{,}5}=\dfrac{3/2}{3/2}=1. Portanto a expressão se simplifica fortuitamente para
\tau_{\max}=\frac{V}{a^{2}}.

Passo 5

Impor a condição de segurança e resolver para a.
Queremos \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}, ou seja
\frac{V}{a^{2}}\le \tau_{\text{adm}} \quad\Longrightarrow\quad a^{2}\ge \frac{V}{\tau_{\text{adm}}} \quad\Longrightarrow\quad a\ge \sqrt{\frac{V}{\tau_{\text{adm}}}}.
Agora numericamente (usar unidades SI):
V=20\\ \text{kN}=20\,000\\ \text{N},\qquad \tau_{\text{adm}}=11{,}2\\ \text{MPa}=11{,}200{,}000\\ \text{N/m}^{2}.
Logo
a \ge \sqrt{\frac{20\,000}{11{,}200{,}000}} = \sqrt{0{,}001785714\ldots} \approx 0{,}042285\\ \text{m}.
Arredondando de modo prático para projeto:
a\approx 0{,}0423\\ \text{m}=42{,}3\\ \text{mm}.
O correspondente valor de 1{,}5a é
1{,}5a \approx 1{,}5\cdot 0{,}042285\\ \text{m}\approx 0{,}063428\\ \text{m}\approx 63{,}4\\ \text{mm}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo rápido: o cálculo mostrou que, por causa da forma particular (altura 1{,}5a), a máxima tensão de cisalhamento reduz à expressão simples \tau_{\max}=V/a^{2}, o que facilita muito a escolha de a. Bom trabalho — já tem o menor a que satisfaz a condição de cisalhamento.

Resposta

a \approx 0{,}0423\\ \text{m} \; (42{,}3\\ \text{mm})
1{,}5a \approx 0{,}0634\\ \text{m} \; (63{,}4\\ \text{mm})

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