7.15. Se a viga T for submetida a um cisalhamento vertical V=60 \mathrm{kN}, determine a força de cisalhamento vertical à qual a aba resiste.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos (peguei estes valores da figura):
  • Pede: determinar a força de cisalhamento vertical que a aba (flange) resiste quando a viga está submetida a V=60\\ \text{kN}.
  • Dados extraídos da figura:
    • espessura da aba (flange): t_f = 75\\ \text{mm};
    • largura total da aba (no sentido perpendicular à espessura do web): b_f = 300\\ \text{mm} (três trechos de 100\\ \text{mm});
    • espessura do web: t_w = 100\\ \text{mm};
    • altura do web (abaixo da flange): h_w = 150\\ \text{mm};
    • carga de cisalhamento total: V = 60\\ \text{kN}.
      Observação: a resolução começa no próximo passo — aqui só listei o que é pedido e os números fornecidos.

Passo 2

Estratégia (o método que vamos aplicar) — explicação didática das fórmulas que vamos usar:
  • Para distribuir o cisalhamento entre partes da seção usamos a noção de “shear flow” q. A fórmula básica para shear flow num plano horizontal é
q=\dfrac{V\,Q}{I},
onde:
  • V é a força cortante total (aqui 60\\ \text{kN});
  • Q é o primeiro momento de área da porção da seção acima (ou abaixo) do plano onde avaliamos o cisalhamento (unidade: \text{mm}^3);
  • I é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro horizontal (unidade: \text{mm}^4).
  • Interpretação física: q tem unidade \text{N/mm} (força por unidade de comprimento ao longo da linha de contato). Para obter a força total transmitida através de uma junta (por exemplo a força vertical que a aba resiste), multiplica-se q pela largura da junta (comprimento da linha de contato). No nosso caso a junta entre a aba e o web tem comprimento igual à espessura do web t_w; portanto a força que a aba resiste é
F_{\text{aba}} = q \cdot t_w = \dfrac{V\,Q}{I}\,t_w.
  • Para calcular Q precisamos do centroide da porção considerada e para calcular I precisamos do momento de inércia de cada retângulo e aplicar o teorema dos eixos paralelos:
I_{\text{retângulo, centro}}=\dfrac{b h^3}{12},\qquad I_{\text{retângulo, eixo}}=I_{\text{centro}}+A d^2,ââ
onde A é a área do retângulo e d a distância entre os centros.

Passo 3

Cálculo das áreas das duas partes (uso os números da figura):
  • área da aba (flange):
A_f = b_f\,t_f = 300\cdot75 = 22\,500\\ \text{mm}^2.
  • área do web:
A_w = t_w\,h_w = 100\cdot150 = 15\,000\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Posições dos centroides de cada parte medidas a partir do topo da seção (eixo y positivo para baixo):
  • centroide da aba (espessura 75\\ \text{mm}), está a meio da aba:
y_f = \dfrac{t_f}{2} = \dfrac{75}{2} = 37{,}5\\ \text{mm}.
  • centroide do web (começa logo abaixo da aba, web de altura 150\\ \text{mm}):
y_w = t_f + \dfrac{h_w}{2} = 75 + \dfrac{150}{2} = 75 + 75 = 150\\ \text{mm}.

Passo 5

Cálculo da posição do eixo neutro (centroide da seção composta) \bar{y}:
\bar{y}=\dfrac{A_f y_f + A_w y_w}{A_f + A_w}.
Substituindo os números:
\bar{y}=\dfrac{22\,500\cdot37{,}5 + 15\,000\cdot150}{22\,500+15\,000} =\dfrac{843\,750 + 2\,250\,000}{37\,500} =\dfrac{3\,093\,750}{37\,500}=82{,}5\\ \text{mm}.
Comentário: \bar{y}=82{,}5\\ \text{mm} está abaixo da face inferior da aba (pois t_f=75\\ \text{mm}), ou seja, o eixo neutro corta o web logo abaixo da aba — isso é importante para o cálculo de Q e I.

Passo 6

Cálculo do primeiro momento de área Q para a porção acima do plano onde a aba se conecta ao web:
  • vamos avaliar o plano na face inferior da aba (isto é, na interface aba–web). A porção acima desse plano é toda a aba, logo
Q = A_f\cdot (\text{distância entre o centroide da aba e o eixo neutro}).â
A distância é \bar{y}-y_f = 82{,}5 - 37{,}5 = 45\\ \text{mm}. Assim
Q = 22\,500 \cdot 45 = 1\,012\,500\\ \text{mm}^3.

Passo 7

Cálculo do momento de inércia I da seção inteira em relação ao eixo neutro:
  • momento de inércia da aba em torno do seu centro (eixo horizontal):
I_{f,\text{centro}} = \dfrac{b_f\,t_f^3}{12} = \dfrac{300\cdot75^3}{12}.
Calculemos passo a passo: 75^3=421\,875. Então
I_{f,\text{centro}}=\dfrac{300\cdot421\,875}{12}=10\,546\,875\\ \text{mm}^4.
  • termo de paralela para a aba:
A_f d_f^2 = 22\,500\cdot45^2 = 22\,500\cdot2\,025 = 45\,562\,500\\ \text{mm}^4.
  • portanto
I_f = I_{f,\text{centro}} + A_f d_f^2 = 10\,546\,875 + 45\,562\,500 = 56\,109\,375\\ \text{mm}^4.

Passo 8

Momento de inércia do web em relação ao eixo neutro:
  • momento de inércia do web em seu centro:
I_{w,\text{centro}}=\dfrac{t_w\,h_w^3}{12}=\dfrac{100\cdot150^3}{12}.
Calcule 150^3=3\,375\,000, então
I_{w,\text{centro}}=\dfrac{100\cdot3\,375\,000}{12}=28\,125\,000\\ \text{mm}^4.
  • distância do centro do web ao eixo neutro: d_w = y_w - \bar{y} = 150 - 82{,}5 = 67{,}5\\ \text{mm}.
  • termo de paralela:
A_w d_w^2 = 15\,000\cdot67{,}5^2 = 15\,000\cdot4\,556{,}25 = 68\,343\,750\\ \text{mm}^4.
  • então
I_w = 28\,125\,000 + 68\,343\,750 = 96\,468\,750\\ \text{mm}^4.

Passo 9

Momento de inércia total da seção:
I = I_f + I_w = 56\,109\,375 + 96\,468\,750 = 152\,578\,125\\ \text{mm}^4.

Passo 10

Cálculo do shear flow q na interface (aba–web):
  • usamos V=60\\ \text{kN}=60\,000\\ \text{N}. Então
q=\dfrac{V\,Q}{I}=\dfrac{60\,000\cdot1\,012\,500}{152\,578\,125}.
Faço a divisão:
q\approx 398{,}16\\ \text{N/mm}.
Explicação rápida: q é a força por mm ao longo da linha de contato; para obter uma força total multiplica-se q pela largura da linha.

Passo 11

Força de cisalhamento que a aba (flange) resiste:
  • a linha de contato entre aba e web tem comprimento igual à espessura do web t_w = 100\\ \text{mm} (essa é a dimensão ao longo da qual o shear flow atua para transferir força da aba para o web). Assim
F_{\text{aba}} = q\cdot t_w \approx 398{,}16\cdot100 = 39\,815{,}7\\ \text{N}.
Em unidades mais usuais:
F_{\text{aba}}\approx 39{,}8\\ \text{kN}.
  • comentário final: portanto, da força cortante total V=60\\ \text{kN}, cerca de 39{,}8\\ \text{kN} é transmitida pela aba e o restante ( 60-39{,}8\approx20{,}2\\ \text{kN}) é carregado pelo restante do web.

Resposta

39{,}8\\ \text{kN}

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