1.13.11 A força total sobre uma carga q movimentando-se com velocidade \mathbf{v} é
\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}) .
Usando os potenciais escalar e vetorial, mostre que
\mathbf{F}=q\left[-\nabla \varphi-\frac{d \mathbf{A}}{d t}+\nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{v})\right]
Note que agora temos uma derivada total de tempo de A em lugar da derivada parcial do Exercício 1.13.10.

Passo 1

O enunciado nos dá a força de Lorentz sobre uma carga q com velocidade \mathbf{v}:
\mathbf{F}=q\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr),
e pede para usar os potenciais escalar \varphi e vetorial \mathbf{A}, sabendo que
\mathbf{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}, \qquad \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},
para chegar à forma
\mathbf{F}=q\Bigl[-\nabla\varphi-\frac{d\mathbf{A}}{dt}+\nabla\bigl(\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}\bigr)\Bigr].

Passo 2

Substituímos \mathbf{E} e \mathbf{B} em \mathbf{F}:
\mathbf{F} = q\Bigl(-\nabla\varphi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} +\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A})\Bigr).

Passo 3

Usamos a identidade vetorial
\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A}) =\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}) \;-\;(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}
para reescrever o termo \mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A}). Assim
\mathbf{F} = q\Bigl(-\nabla\varphi-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} +\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}) -(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}\Bigr).

Passo 4

Reconhecemos que a derivada total de \mathbf{A} ao longo da trajetória é
\frac{d\mathbf{A}}{dt} =\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} +(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}.
Logo,
-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} \;-\;(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A} =-\frac{d\mathbf{A}}{dt}.
Substituindo de volta em \mathbf{F}, obtemos
\mathbf{F} = q\Bigl[-\nabla\varphi -\frac{d\mathbf{A}}{dt} +\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{v})\Bigr].

Resposta

\boxed{\mathbf{F}=q\Bigl[-\nabla\varphi-\frac{d\mathbf{A}}{dt} +\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{v})\Bigr].}

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