13 A área de uma seção meridiana de um cone equilátero é 9 raiz3 cm^2. Calcule a área total desse cone.

Passo 1

O enunciado dá a área da seção meridiana de um “cone equilátero” como 9raiz3,cm ^2. Num cone equilátero, essa seção é um triângulo equilátero de lado igual à geratriz g. Nosso objetivo é achar a área total do cone, que é
Arm total = Arm base + Arm lateral
onde Arm base = pi r^2 e Arm lateral=pi r,g.

Passo 2

Num triângulo equilátero de lado s, a área vale
s^2raiz34
Aqui s=g e essa área é 9raiz3. Logo,
g^2raiz34=9raiz3 Longrightarrow g^2=9cdot4=36 Longrightarrow g=6 cm

Passo 3

No cone equilátero vale g=2r. Assim,
2r=6 Longrightarrow r=3 cm

Passo 4

A altura h não entra diretamente na área total, mas podemos anotá-la para consistência usando o teorema de Pitágoras no triângulo meridiano:
h=raizg^2-r^2=raiz36-9=raiz27=3raiz3 cm

Passo 5

Calculamos agora as áreas:
Arm base=pi r^2=picdot3^2=9pi,
Arm lateral=pi r,g=picdot3cdot6=18pi
Somando,
Arm total=9pi+18pi=27pi cm^2

Resposta

27pi cm^2

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