1.13.9 A indução magnética B está relacionada ao potencial vetor magnético potential A por
. Pelo teorema de Stokes
Mostre que cada lado dessa equação é invariante sob a transformação de calibre,
. Nota: Considere a função
uma função de valor único. A transformação de calibre completa é considerada no Exercício 4.6.4.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob a transformação de calibre
cada lado da identidade de Stokes
permanece inalterado. Vamos usar duas propriedades de cálculo vetorial:
-
. - A integral de linha de um gradiente ao longo de um circuito fechado é zero, desde que
seja função de valor único.
Passo 2
Mostramos invariância do lado esquerdo. Sob o calibre, define-se
Logo
isto é, o fluxo magnético não muda.
Passo 3
Mostramos invariância do lado direito. A nova integral de linha é
Pela propriedade de funçãode valor único,
Portanto
Resposta
Cada lado da equação de Stokes é invariante sob
.