1.13.9 A indução magnética B está relacionada ao potencial vetor magnético potential A por \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}. Pelo teorema de Stokes
\int \mathbf{B} \cdot d \boldsymbol{\sigma}=\oint \mathbf{A} \cdot d \mathbf{r}
Mostre que cada lado dessa equação é invariante sob a transformação de calibre, \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla} \varphi. Nota: Considere a função \varphi uma função de valor único. A transformação de calibre completa é considerada no Exercício 4.6.4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob a transformação de calibre
\mathbf{A}\;\longrightarrow\;\mathbf{A}+\nabla\varphi,
cada lado da identidade de Stokes
\int \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol\sigma \;=\;\oint \mathbf{A}\cdot d\mathbf r
permanece inalterado. Vamos usar duas propriedades de cálculo vetorial:
  1. \nabla\times\nabla\varphi=0.
  2. A integral de linha de um gradiente ao longo de um circuito fechado é zero, desde que \varphi seja função de valor único.

Passo 2

Mostramos invariância do lado esquerdo. Sob o calibre, define-se
\mathbf{B}' \;=\;\nabla\times\bigl(\mathbf{A}+\nabla\varphi\bigr) =\nabla\times\mathbf{A} \;+\;\nabla\times\nabla\varphi =\mathbf{B}+0 =\mathbf{B}.
Logo
\int \mathbf{B}'\!\cdot d\boldsymbol\sigma =\int \mathbf{B}\!\cdot d\boldsymbol\sigma,
isto é, o fluxo magnético não muda.

Passo 3

Mostramos invariância do lado direito. A nova integral de linha é
\oint \bigl(\mathbf{A}+\nabla\varphi\bigr)\cdot d\mathbf r =\oint \mathbf{A}\cdot d\mathbf r \;+\;\oint \nabla\varphi\cdot d\mathbf r.
Pela propriedade de funçãode valor único,
\oint \nabla\varphi\cdot d\mathbf r =\varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início}) =0.í
Portanto
\oint \bigl(\mathbf{A}+\nabla\varphi\bigr)\cdot d\mathbf r =\oint \mathbf{A}\cdot d\mathbf r.

Resposta

Cada lado da equação de Stokes é invariante sob \mathbf{A}\rightarrow\mathbf{A}+\nabla\varphi.

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