13 A random sample of 200 printed circuit boards contains 25 defective or nonconforming units. Estimate the process fraction nonconforming. Construct a
two-sided confidence interval on the true fraction nonconforming in the production process.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória de
placas de circuito impresso, das quais
são defeituosas (ou não conformes). As perguntas são:
- Estimar a fração do processo não conforme (ou seja, a proporção verdadeira de unidades defeituosas).
- Construir um intervalo de confiança bilateral de
para essa fração verdadeira.
Informações relevantes dadas:
,
. Nenhuma figura ou dado adicional foi fornecido.
Passo 2
Calcular a estimativa pontual (proporção amostral). A estimativa natural para a fração não conforme é a proporção amostral
, definida por
onde
é o número de unidades defeituosas na amostra e
é o tamanho da amostra. Aqui,
Interpretação prática: a melhor estimativa baseada nessa amostra é que
das unidades do processo são não conformes.
Passo 3
Verificar a condição para usar a aproximação normal (intervalo baseado na aproximação assintótica da binomial). A variância aproximada de
é
; para usar a aproximação normal costuma-se exigir que
e
sejam razoavelmente grandes (regra prática: ambos pelo menos 5). Aqui,
ambos maiores que
. Portanto a aproximação normal é adequada e podemos usar o intervalo
Passo 4
Explicar a fórmula do erro padrão e calcular seu valor numérico. O erro padrão da proporção amostral é a raiz quadrada da variância aproximada:
Aqui cada termo significa:
é a proporção amostral,
é a proporção amostral de sucessos complementares, e
é o tamanho da amostra. Calculando:
Passo 5
Determinar o quantil crítico
para um intervalo bilateral de
. A confiança de
implica
e
. O quantil correspondente da distribuição normal padrão é
porque a área até
é
. Esse valor é o fator que multiplica o erro padrão para obter a margem de erro.
Passo 6
Calcular a margem de erro e os limites do intervalo de confiança. A margem de erro (ME) é
Logo os limites do intervalo são
Arredondando de forma prática para apresentação (mantendo precisão razoável), obtemos o intervalo aproximado
Passo 7
Interpretação final e dica para prova. O resultado significa que, com base nessa amostra, a estimativa pontual da fração não conforme é
e um intervalo de confiança a
para a verdadeira fração do processo é aproximadamente
. Em linguagem de prova: temos
de confiança de que a verdadeira proporção de unidades não conformes está entre
e
. Dica: sempre cheque as condições
e
antes de aplicar a fórmula normal; se não forem satisfeitas, use métodos exatos (ex.: intervalo de Clopper–Pearson).