13 A random sample of 200 printed circuit boards contains 25 defective or nonconforming units. Estimate the process fraction nonconforming. Construct a 90 \% two-sided confidence interval on the true fraction nonconforming in the production process.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de n=200 placas de circuito impresso, das quais x=25 são defeituosas (ou não conformes). As perguntas são:
  1. Estimar a fração do processo não conforme (ou seja, a proporção verdadeira de unidades defeituosas).
  2. Construir um intervalo de confiança bilateral de 90\% para essa fração verdadeira.
Informações relevantes dadas: n=200, x=25. Nenhuma figura ou dado adicional foi fornecido.

Passo 2

Calcular a estimativa pontual (proporção amostral). A estimativa natural para a fração não conforme é a proporção amostral \hat p, definida por
\hat p=\frac{x}{n},
onde x é o número de unidades defeituosas na amostra e n é o tamanho da amostra. Aqui,
\hat p=\frac{25}{200}=0,125.
Interpretação prática: a melhor estimativa baseada nessa amostra é que 12{,}5\% das unidades do processo são não conformes.

Passo 3

Verificar a condição para usar a aproximação normal (intervalo baseado na aproximação assintótica da binomial). A variância aproximada de \hat p é \dfrac{p(1-p)}{n}; para usar a aproximação normal costuma-se exigir que n\hat p e n(1-\hat p) sejam razoavelmente grandes (regra prática: ambos pelo menos 5). Aqui,
n\hat p = 200\cdot 0,125 = 25 \quad\text{e}\quad n(1-\hat p)=200\cdot 0,875=175,
ambos maiores que 5. Portanto a aproximação normal é adequada e podemos usar o intervalo
\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.

Passo 4

Explicar a fórmula do erro padrão e calcular seu valor numérico. O erro padrão da proporção amostral é a raiz quadrada da variância aproximada:
\mathrm{SE}(\hat p)=\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Aqui cada termo significa: \hat p é a proporção amostral, 1-\hat p é a proporção amostral de sucessos complementares, e n é o tamanho da amostra. Calculando:
\hat p(1-\hat p)=0,125\cdot 0,875=0,109375,
\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}=\frac{0,109375}{200}=0,000546875,
\mathrm{SE}(\hat p)=\sqrt{0,000546875}\approx 0,02338.

Passo 5

Determinar o quantil crítico z_{\alpha/2} para um intervalo bilateral de 90\%. A confiança de 90\% implica \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. O quantil correspondente da distribuição normal padrão é
z_{0{,}95}=1{,}645,
porque a área até z_{0{,}95} é 0{,}95. Esse valor é o fator que multiplica o erro padrão para obter a margem de erro.

Passo 6

Calcular a margem de erro e os limites do intervalo de confiança. A margem de erro (ME) é
\mathrm{ME}=z_{\alpha/2}\cdot \mathrm{SE}(\hat p)=1{,}645\cdot 0,02338\approx 0,03845.
Logo os limites do intervalo são
\text{limite inferior}=\hat p-\mathrm{ME}=0,125-0,03845\approx 0,08655,
\text{limite superior}=\hat p+\mathrm{ME}=0,125+0,03845\approx 0,16345.
Arredondando de forma prática para apresentação (mantendo precisão razoável), obtemos o intervalo aproximado
(0,0866,\;0,1635).

Passo 7

Interpretação final e dica para prova. O resultado significa que, com base nessa amostra, a estimativa pontual da fração não conforme é \hat p=0,125 e um intervalo de confiança a 90\% para a verdadeira fração do processo é aproximadamente (0,0866,\;0,1635). Em linguagem de prova: temos 90\% de confiança de que a verdadeira proporção de unidades não conformes está entre 8{,}66\% e 16{,}35\%. Dica: sempre cheque as condições n\hat p e n(1-\hat p) antes de aplicar a fórmula normal; se não forem satisfeitas, use métodos exatos (ex.: intervalo de Clopper–Pearson).

Resposta

\hat p=0,125
90\%\\ \text{IC}: (0,0866,\;0,1635)

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