14 A random sample of 500 units contains 75 nonconforming units. Estimate the process fraction nonconforming. Construct a
upper confidence interval on the true process fraction nonconforming.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória com
unidades das quais
são não conformes. As perguntas são: (1) estimar a fração do processo não conforme (isto é, estimar a proporção verdadeira
) e (2) construir um intervalo de confiança unilateral superior de
para
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
e
. Nenhuma figura ou tabela adicional foi fornecida nem é necessária.
Passo 2
Primeiro vamos fazer a estimativa pontual da proporção verdadeira
. A estimativa padrão é a proporção amostral
, definida por
onde
é o número de sucessos (aqui: não conformes) e
o tamanho da amostra. Substituindo os valores dados:
Interpretação: com base na amostra, a melhor estimativa pontual para a fração não conforme do processo é
(ou
).
Passo 3
Para construir o intervalo de confiança usamos a distribuição aproximada da estimativa
. Para amostras grandes,
é aproximadamente normal com média
e variância
. Como
é desconhecido, usamos
na fórmula da variância para obter o erro padrão (SE). Antes disso, verificamos a condição de aproximação normal: é comum exigir que
e
. Calculamos:
ambos muito maiores que
, portanto a aproximação normal é adequada.
Passo 4
Definimos o erro padrão de
pela fórmula (usando
em lugar de
):
Agora calculamos passo a passo:
Passo 5
Como o enunciado pede um intervalo de confiança unilateral superior de
, precisamos do valor crítico da normal padrão tal que a área abaixo dele seja
. Esse quantil é
(não confundir com
, que é o critério para intervalo bilateral de
). A fórmula do limite superior do intervalo unilateral é:
Passo 6
Substituímos os números:
Calculando o produto:
logo
Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação final do intervalo unilateral: com nível de confiança de
temos evidência para afirmar que a verdadeira proporção
está, com probabilidade de confiança
, abaixo de aproximadamente
. Ou seja, um limite superior de
é
.
Resposta
Intervalo de confiança unilateral superior de