14 A random sample of 500 units contains 75 nonconforming units. Estimate the process fraction nonconforming. Construct a 95 \% upper confidence interval on the true process fraction nonconforming.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória com n=500 unidades das quais x=75 são não conformes. As perguntas são: (1) estimar a fração do processo não conforme (isto é, estimar a proporção verdadeira p) e (2) construir um intervalo de confiança unilateral superior de 95\% para p. Informações relevantes extraídas do enunciado: n=500 e x=75. Nenhuma figura ou tabela adicional foi fornecida nem é necessária.

Passo 2

Primeiro vamos fazer a estimativa pontual da proporção verdadeira p. A estimativa padrão é a proporção amostral \hat{p}, definida por
\hat{p}=\frac{x}{n},
onde x é o número de sucessos (aqui: não conformes) e n o tamanho da amostra. Substituindo os valores dados:
\hat{p}=\frac{75}{500}=0,15.
Interpretação: com base na amostra, a melhor estimativa pontual para a fração não conforme do processo é \hat{p}=0,15 (ou 15\%).

Passo 3

Para construir o intervalo de confiança usamos a distribuição aproximada da estimativa \hat{p}. Para amostras grandes, \hat{p} é aproximadamente normal com média p e variância \dfrac{p(1-p)}{n}. Como p é desconhecido, usamos \hat{p} na fórmula da variância para obter o erro padrão (SE). Antes disso, verificamos a condição de aproximação normal: é comum exigir que n\hat{p}\ge 5 e n(1-\hat{p})\ge 5. Calculamos:
n\hat{p}=500\cdot 0,15=75\quad\text{e}\quad n(1-\hat{p})=500\cdot 0,85=425,
ambos muito maiores que 5, portanto a aproximação normal é adequada.

Passo 4

Definimos o erro padrão de \hat{p} pela fórmula (usando \hat{p} em lugar de p):
\text{SE}=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Agora calculamos passo a passo:
\hat{p}(1-\hat{p})=0,15\cdot 0,85=0,1275,
\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\frac{0,1275}{500}=0,000255,
\text{SE}=\sqrt{0,000255}\approx 0,0159687.

Passo 5

Como o enunciado pede um intervalo de confiança unilateral superior de 95\%, precisamos do valor crítico da normal padrão tal que a área abaixo dele seja 0,95. Esse quantil é z_{0,95}=1,645 (não confundir com 1,96, que é o critério para intervalo bilateral de 95\%). A fórmula do limite superior do intervalo unilateral é:
\text{limite superior}=\hat{p}+z_{0,95}\cdot\text{SE}.

Passo 6

Substituímos os números:
\text{limite superior}=0,15+1,645\cdot 0,0159687.
Calculando o produto:
1,645\cdot 0,0159687\approx 0,0262685,
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\text{limite superior}\approx 0,15+0,0262685=0,1762685\approx 0,1763.
Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente 17,63\%.

Passo 7

Interpretação final do intervalo unilateral: com nível de confiança de 95\% temos evidência para afirmar que a verdadeira proporção p está, com probabilidade de confiança 95\%, abaixo de aproximadamente 0,1763. Ou seja, um limite superior de 95\% é 0,1763.

Resposta

\hat{p}=0,15\n
Intervalo de confiança unilateral superior de 95\%: p \le 0,1763

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