4.13) Sabe-se que o cloro gasoso é adsorvido por carvão ativo e que o sistema obedece à isoterma de Freundlich. Em um conjunto de experiências efetuadas com o sistema verificou-se que, partindo de uma pressão inicial de 4 atm de cloro, a pressão baixava para 1 atm , quando o gás era colocado em contato com certa massa de carvão ativo. Duplicando então o volume do sistema a pressão de equilíbrio caia para 0,6 \mathrm{~atm}. Calcule o expoente da pressão na isoterma que fornece o comportamento do sistema. Desconsidere o volume próprio do adsorvente. R: 0.135

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Pressão inicial do cloro, antes de entrar em contato com o carvão: \,P_0=4\\ \text{atm}.
  • Depois de colocar o gás em contato com certa massa de carvão ativo, a pressão de equilíbrio passou a ser \,P_1=1\\ \text{atm} (a um volume inicial que chamaremos de V).
  • Dobrando o volume do sistema (isto é, passando o volume para 2V) e mantendo a mesma massa de adsorvente e a mesma quantidade total de cloro, a nova pressão de equilíbrio ficou \,P_2=0,6\\ \text{atm}.
  • Foi dito para desprezar o volume próprio do adsorvente.
O que o enunciado pede:
  • Calcular o expoente da pressão na isoterma de Freundlich que descreve esse sistema (ou seja, o expoente que aparece na relação entre a quantidade adsorvida por massa e a pressão de equilíbrio).

Passo 2

Entender o que a isoterma de Freundlich diz (fórmula e significado das variáveis).
A forma usual da isoterma de Freundlich que vamos usar é
\frac{x}{m}=K\,P^{\,\alpha},
onde:
  • \,x é a quantidade de substância adsorvida (em moles, por exemplo),
  • \,m é a massa do adsorvente (carvão) — fixa nas experiências,
  • \,K é uma constante (depende da temperatura e do sistema),
  • \,P é a pressão de equilíbrio do gás,
  • \,\alpha é o expoente da pressão que queremos determinar.
Comentário didático: a isoterma relaciona a quantidade adsorvida por unidade de massa com a pressão do gás em equilíbrio. O expoente \alpha mostra como a adsorção varia com a pressão: se \alpha for grande, a adsorção cresce forte com a pressão; se pequeno, cresce pouco.

Passo 3

Aplicar conservação da quantidade total de cloro (sistema fechado) e a equação dos gases ideais para relacionar as quantidades adsorvidas com as pressões.
  • Antes do contato com o carvão, toda a quantidade de cloro está na fase gasosa e vale
N_{\text{total}}=\frac{P_0 V}{RT},
onde R e T são constantes (mesma temperatura em todas as experiências) e V é o volume inicial.
  • No primeiro equilíbrio (volume V, pressão \,P_1), a quantidade de cloro na fase gasosa é \dfrac{P_1 V}{RT}. Assim, a quantidade adsorvida (em moles) é
x_1 = N_{\text{total}} - \frac{P_1 V}{RT} = \frac{P_0 V}{RT} - \frac{P_1 V}{RT} = \frac{(P_0-P_1)V}{RT}.
A quantidade adsorvida por massa do adsorvente é então
\frac{x_1}{m}=\frac{(P_0-P_1)V}{RT\,m}.
  • No segundo caso: o volume foi dobrado para 2V. A quantidade total de cloro permanece N_{\text{total}}=\dfrac{P_0 V}{RT}. No novo equilíbrio a quantidade de cloro na fase gasosa é \dfrac{P_2\,(2V)}{RT}. Logo a quantidade adsorvida é
x_2 = N_{\text{total}} - \frac{P_2 (2V)}{RT} = \frac{P_0 V}{RT} - \frac{2P_2 V}{RT} = \frac{(P_0-2P_2)V}{RT}.
E a quantidade adsorvida por massa é
\frac{x_2}{m}=\frac{(P_0-2P_2)V}{RT\,m}.
Observação didática: aqui usei conservação de massa (número de mols fixo) e a lei dos gases ideais para passar de pressões para quantidades em moles. Note que os fatores V/(RT\,m) são os mesmos nas duas expressões (porque V, R, T e m são os mesmos nas duas experiências), o que vai permitir eliminar constantes.

Passo 4

Aplicar a isoterma de Freundlich nos dois equilíbrios e montar a razão para eliminar constantes desconhecidas.
Usando \dfrac{x}{m}=K P^{\alpha}, temos para o primeiro equilíbrio:
\frac{(P_0-P_1)V}{RT\,m}=K\,P_1^{\alpha},
e para o segundo:
\frac{(P_0-2P_2)V}{RT\,m}=K\,P_2^{\alpha}.
Dividindo a segunda equação pela primeira (isso cancela K e o fator comum V/(RT\,m)), obtemos
\frac{P_0-2P_2}{P_0-P_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\alpha}.
Esta é a equação que nos permite resolver \alpha diretamente a partir das pressões medidas.

Passo 5

Substituir os valores numéricos fornecidos e simplificar (usar frações exatas quando possível).
Dados:
P_0=4,\qquad P_1=1,\qquad P_2=0,6.
Calcule o lado esquerdo:
\frac{P_0-2P_2}{P_0-P_1}=\frac{4-2(0,6)}{4-1}=\frac{4-1,2}{3}=\frac{2,8}{3}=\frac{14}{15}.
O quociente de pressões é
\frac{P_2}{P_1}=\frac{0,6}{1}=\frac{3}{5}.
Portanto a equação fica
\left(\frac{3}{5}\right)^{\alpha}=\frac{14}{15}.

Passo 6

Isolar \alpha usando logaritmos e calcular numericamente.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
\alpha=\frac{\ln\!\left(\dfrac{14}{15}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{3}{5}\right)}.
Agora calcular numericamente (aproximações de razões logarítmicas):
\ln\!\left(\dfrac{14}{15}\right)\approx -0{,}068993,\qquad \ln\!\left(\dfrac{3}{5}\right)=\ln(0{,}6)\approx -0{,}510826.
Logo
\alpha \approx \frac{-0{,}068993}{-0{,}510826}\approx 0{,}135.
Interpretação curta e motivadora: o expoente \alpha é pequeno ( \approx0{,}135), o que significa que a quantidade adsorvida cresce lentamente com a pressão de equilíbrio neste sistema — típico em superfícies onde a adsorção apresenta forte dependência não-linear.

Resposta

0,135

Exercícios relacionados