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Sabendo que |cccc2 & -3 & 4 & 11 7 & 6 & 1 & 2 2 & -5 & 5 & 8 a & b & c & d|=-1470, calcule os determinantes das seguintes matrizes.
а) |cccc2 a & 2 b & 2 c & 2 d 7 & 6 & 1 & 2 2 & -5 & 5 & 8 2 & -3 & 4 & 11|=

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem um determinante de uma matriz 4x4 e precisa calcular o determinante de outra matriz relacionada a ela. A matéria que estamos usando aqui é álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes. Para resolver essa questão, vamos precisar entender algumas propriedades importantes dos determinantes, como a multiplicação de uma linha por um escalar e a troca de linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz original e o determinante dado:
2 & -3 & 4 & 11 7 & 6 & 1 & 2 2 & -5 & 5 & 8 a & b & c & d = -1470
Queremos calcular o determinante da seguinte matriz:
2a & 2b & 2c & 2d 7 & 6 & 1 & 2 2 & -5 & 5 & 8 2 & -3 & 4 & 11

Passo 3

Vamos analisar o que mudou na nova matriz:
  1. Primeira Linha Multiplicada por 2: Na nova matriz, a primeira linha é 2 vezes a última linha da matriz original (2a, 2b, 2c, 2d). Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar, o determinante da matriz também é multiplicado por esse escalar. Então, isso significa que o determinante será multiplicado por 2.
  2. Troca de Linhas: Além disso, a última linha da nova matriz é a primeira linha da matriz original (2, -3, 4, 11). Trocar duas linhas de posição em uma matriz inverte o sinal do determinante.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essas duas operações ao determinante original:
  1. Multiplicação da Primeira Linha por 2:
    Novo determinante = 2 times (-1470) = -2940
  2. Troca de Linhas (inverte o sinal):
    Determinante após a troca = -(-2940) = 2940 ó

Resposta

O determinante da matriz dada é 2940.

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