9.13 Uma tensão senoidal de 80 kHz tem ângulo de fase nulo e amplitude máxima de 25 mV . Quando essa tensão é aplicada aos terminais
de um capacitor, a corrente resultante de regime permanente tem amplitude máxima de 628,32 \mu \mathrm{~A}.
a) Qual é a frequência da corrente em radianos por segundo?
b) Qual é o ângulo de fase da corrente?
c) Qualé a reatância capacitiva do capacitor?
d) Qual é a capacitância do capacitor em microfarads?
e) Qual é a impedância do capacitor?

Passo 1

O enunciado diz que uma tensão senoidal de frequência f=80\text{ kHz} e amplitude máxima V_m=25\text{ mV} (fase zero) é aplicada a um capacitor, produzindo uma corrente de regime permanente com amplitude máxima I_m=628{,}32\text{ \muA}. O conteúdo envolve circuito AC em regime senoidal e as relações fasoriais para capacitor:
I = j\omega C\,V,
o que implica que a corrente antecipa a tensão em 90^\circ e que as amplitudes satisfazem
I_m = \omega C\,V_m.
Também usaremos
X_C = \frac{1}{\omega C} \quad\text{e}\quad Z_C = \frac{1}{j\omega C}.

Passo 2

Calcular a pulsação \omega a partir de f.
\omega = 2\pi f = 2\pi\,(80\times10^3)\approx502\,654{,}824\text{ rad/s}.

Passo 3

Determinar o ângulo de fase da corrente. Pela relação fasorial
I = j\omega C\,V,
a corrente está defasada de +90^\circ em relação à tensão.

Passo 4

Calcular a reatância capacitiva X_C pela razão das amplitudes:
X_C = \frac{V_m}{I_m} = \frac{25\times10^{-3}}{628{,}32\times10^{-6}} \approx39{,}79\\ \Omega.

Passo 5

Obter a capacitância C isolando em I_m=\omega C\,V_m:
C = \frac{I_m}{\omega\,V_m} = \frac{628{,}32\times10^{-6}}{502\,654{,}824\cdot25\times10^{-3}} \approx5{,}0\times10^{-8}\text{ F}=0{,}05\text{ \muF}.

Passo 6

Determinar a impedância do capacitor:
Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\,j\,\frac{1}{\omega C} = -\,j\,X_C \quad\Rightarrow\quad Z_C = 39{,}79\\ \Omega\\ \angle -90^\circ.

Resposta

a) \omega\approx502\,654{,}8\text{ rad/s}.
b) Fase da corrente =+90^\circ.
c) X_C\approx39{,}79\\ \Omega.
d) C\approx0{,}05\text{ \muF}.
e) Z_C = 39{,}79\\ \Omega\\ \angle -90^\circ.

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