( ) 130. Faça o balanço de energia em uma superfície estendida, apontando as hipóteses que devem ser assumidas para a obtenção da Equação Geral para Projeto de Aletas.

Passo 1

O enunciado pede que a gente obtenha, a partir de um balanço de energia em um elemento diferencial de uma aleta (superfície estendida), a equação geral que serve de base para o projeto de aletas. O conteúdo envolvido é transferência de calor por condução unidimensional e convecção nas faces laterais, em regime permanente.

Passo 2

Primeiro, listamos as hipóteses necessárias para simplificar o problema e chegar à equação diferencial da aleta:
  1. regime permanente (não há variação no tempo);
  2. condução apenas ao longo da coordenada x (uma dimensão espacial);
  3. propriedades térmicas do material constantes ( k, A_c, P e h não variam com x);
  4. não há geração interna de calor na aleta;
  5. temperatura da base é uniforme e vale T(0)=T_b;
  6. convecção nas faces laterais descrita por coeficiente constante h;
  7. desprezamos radiação e variações de temperatura na espessura ou largura da aleta.

Passo 3

Considere um elemento de aleta de comprimento dx, seção transversal A_c e perímetro das faces laterais P, situado na posição x.
  • O fluxo de condução que entra no elemento em x é
q_x = -k\,A_c\,\frac{dT}{dx}\Big|_{x}.
  • O fluxo que sai em x+dx é
q_{x+dx} = -k\,A_c\,\frac{dT}{dx}\Big|_{x+dx}.
  • A perda de calor por convecção nas faces laterais desse elemento é
dQ_{\text{conv}} = h\,P\,dx\bigl[T(x)-T_\infty\bigr].

Passo 4

Escrevendo o balanço de energia no elemento (entrada menos saída menos perda por convecção igual a zero), temos
q_x - q_{x+dx} - dQ_{\text{conv}} = 0.
Expandindo q_{x+dx} em série de Taylor até a primeira ordem e usando dQ_{\text{conv}}, obtemos
-\frac{d}{dx}\Bigl(k\,A_c\,\frac{dT}{dx}\Bigr)\,dx - h\,P\,dx\bigl[T-T_\infty\bigr]=0.

Passo 5

Como k e A_c são constantes, o termo de condução fica k\,A_c\,\frac{d^2T}{dx^2}. Dividindo tudo por k\,A_c e definindo \theta(x)=T(x)-T_\infty e
m^2 = \frac{h\,P}{k\,A_c},
chegamos à equação diferencial da aleta em sua forma geral:
\frac{d^2\theta}{dx^2} - m^2\,\theta = 0.

Resposta

A equação geral para projeto de aletas é
\frac{d^2\theta}{dx^2} - m^2\,\theta = 0,
com
\theta(x)=T(x)-T_\infty, \quad m^2=\frac{h\,P}{k\,A_c}.
Hipóteses principais: regime permanente; condução unidimensional; propriedades constantes; sem geração interna; base a temperatura uniforme; convecção linear nas faces laterais; desprezo de radiação.

Exercícios relacionados