( ) 136. A EDO expressa por \frac{d^{2} \theta}{d x^{2}}-m^{2} \theta=0 é obtida a partir da Equação Geral para Projeto de Aletas. O que ela representa fisicamente (o que se espera obter resolvendo tal equação)? Tal equação pode ser aplicada para o caso de aletas uniformes e não-uniformes?

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}} - m^{2}\,\theta = 0
obtida da Equação Geral para Projeto de Aletas. Aqui \theta(x)=T(x)-T_{\infty} é o desvio de temperatura entre a aleta e o fluido ambiente, e
m^{2}=\frac{h\,P}{k\,A}
em que h é o coeficiente de convecção, P é o perímetro da aleta, A é sua área de seção transversal e k sua condutividade térmica. A pergunta é: o que fisicamente essa equação representa e em que casos (aletas uniformes e/ou não-uniformes) ela vale?

Passo 2

Para entender fisicamente, partimos da conservação de energia em regime permanente, sem geração interna, aplicando o balanço em um elemento diferencial da aleta. A equação geral é
\frac{d}{dx}\bigl(k\,A(x)\,\frac{dT}{dx}\bigr) \;-\; h\,P(x)\,\bigl(T - T_{\infty}\bigr) \;=\; 0.
Para uma aleta uniforme temos A(x)=A e P(x)=P constantes. Então:
  1. Sai o A de dentro da derivada, ficando k\,A\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}} - h\,P\,(T - T_{\infty}) = 0.
  2. Definindo \theta=T-T_{\infty} e dividindo por kA, obtemos \frac{d^{2}\theta}{dx^{2}} - \frac{hP}{kA}\,\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^{2}\theta}{dx^{2}} - m^{2}\,\theta = 0.
Logo, essa ODE representa o equilíbrio entre condução (segundo derivada de \theta) e convecção (termo -m^{2}\theta) ao longo de uma aleta uniforme em regime estacionário.

Passo 3

Resolvendo
\frac{d^{2}\theta}{dx^{2}} - m^{2}\theta = 0
temos solução geral
\theta(x) = C_{1}\,e^{\,m x} + C_{2}\,e^{-m x},
cujas constantes C_{1} e C_{2} são determinadas pelas condições de contorno (por exemplo, temperatura fixa na base e ponta adiabática ou convectiva). Daí obtém-se o perfil de temperatura \theta(x) e, por derivação, a taxa de calor transferida pela aleta.

Passo 4

Essa forma simplificada da equação só vale quando A e P são constantes, ou seja, aletas uniformes. No caso de aletas não-uniformes (tapered, perfil parabólico, etc.), A(x) e/ou P(x) variam com x, e a equação diferencial se mantém na forma
\frac{d}{dx}\bigl(k\,A(x)\,\frac{dT}{dx}\bigr) - h\,P(x)\,(T-T_{\infty}) = 0,
que não se reduz a \frac{d^{2}\theta}{dx^{2}}-m^{2}\theta=0. Para essas aletas é preciso usar a equação geral, muitas vezes recorrendo a soluções numéricas ou a casos especiais analíticos.

Resposta

Fisicamente, a ODE
\tfrac{d^{2}\theta}{dx^{2}} - m^{2}\theta = 0
descreve o perfil de temperatura e o balanço condução–convecção ao longo de uma aleta uniforme em regime estacionário. Ela permite obter a distribuição de \theta(x) e a taxa de calor dissipada. Essa forma simplificada não se aplica a aletas não-uniformes, para as quais deve-se usar a equação geral com A(x) e P(x) variáveis.

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