( ) 136. A EDO expressa por
é obtida a partir da Equação Geral para Projeto de Aletas. O que ela representa fisicamente (o que se espera obter resolvendo tal equação)? Tal equação pode ser aplicada para o caso de aletas uniformes e não-uniformes?
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
obtida da Equação Geral para Projeto de Aletas. Aqui
é o desvio de temperatura entre a aleta e o fluido ambiente, e
em que
é o coeficiente de convecção,
é o perímetro da aleta,
é sua área de seção transversal e
sua condutividade térmica. A pergunta é: o que fisicamente essa equação representa e em que casos (aletas uniformes e/ou não-uniformes) ela vale?
Passo 2
Para entender fisicamente, partimos da conservação de energia em regime permanente, sem geração interna, aplicando o balanço em um elemento diferencial da aleta. A equação geral é
Para uma aleta uniforme temos
e
constantes. Então:
- Sai o
de dentro da derivada, ficando - Definindo
e dividindo por , obtemos
Logo, essa ODE representa o equilíbrio entre condução (segundo derivada de
) e convecção (termo
) ao longo de uma aleta uniforme em regime estacionário.
Passo 3
Resolvendo
temos solução geral
cujas constantes
e
são determinadas pelas condições de contorno (por exemplo, temperatura fixa na base e ponta adiabática ou convectiva). Daí obtém-se o perfil de temperatura
e, por derivação, a taxa de calor transferida pela aleta.
Passo 4
Essa forma simplificada da equação só vale quando
e
são constantes, ou seja, aletas uniformes. No caso de aletas não-uniformes (tapered, perfil parabólico, etc.),
e/ou
variam com
, e a equação diferencial se mantém na forma
que não se reduz a
. Para essas aletas é preciso usar a equação geral, muitas vezes recorrendo a soluções numéricas ou a casos especiais analíticos.
Resposta
Fisicamente, a ODE
descreve o perfil de temperatura e o balanço condução–convecção ao longo de uma aleta uniforme em regime estacionário. Ela permite obter a distribuição de e a taxa de calor dissipada. Essa forma simplificada não se aplica a aletas não-uniformes, para as quais deve-se usar a equação geral com
e
variáveis.
descreve o perfil de temperatura e o balanço condução–convecção ao longo de uma aleta uniforme em regime estacionário. Ela permite obter a distribuição de